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Partículas de spin com massa não nula.
Já não há mais uma relação direta entre energia e momento, como ocorre com fótons e neutrinos, partículas de massa nula.
(131)
m sendo a massa em repouso, que então se identifica com a massa emergente do grupo de Bargmann, temos:
(132a)
(132b)
Limitemo-nos a:
Próton
Elétron
Nêutron
e suas respectivas antipartículas.
As partículas possuem diferentes cargas, atributos, que também não emergem do grupo de Poincaré:
-
Carga elétrica e = ± 1
-
Carga bariônica cB = ± 1
-
Carga leptônica cL = ± 1
-
Carga múonica cm = ± 1
-
Carga tauônica ct = ± 1
-
Coeficiente giromagnético v
A inversão de todas essas quantidades corresponde à simetria C. Podemos, portanto, agrupar tudo isso conforme a tabela a seguir:
(133)
que pode assumir qualquer orientação, assim como o spin.
O momento magnético é igual ao coeficiente giromagnético v multiplicado pelo spin s.
(134)
Aqui usamos uma letra em negrito s para o spin. Isso significa que a direção do spin das partículas pode ser qualquer. Por outro lado, seu módulo é uma de suas características e é fundamentalmente invariante (quantização geométrica do giro das partículas).
A simetria C, a conjugação de cargas, que inverte o coeficiente giromagnético v, também inverte o momento magnético. O spin permanece inalterado.
Imãs permanentes.
Se colocarmos um pedaço de ferro macio em um campo magnético suficientemente intenso e depois reduzirmos esse campo, o metal manterá uma magnetização permanente. O que aconteceu?
O campo magnético alinha os spins dos elétrons, que se comportam como pequenos ímãs, pequenos dipolos magnéticos.
Mas por que eles conservam então a direção que lhes foi imposta? Por imitação. Cada elétron se alinha segundo o campo magnético criado por seus vizinhos. E, como os demais fazem o mesmo, todos esses momentos conservam seu paralelismo. É como um "Panurge espacial". A menos que aqueçamos o pedaço de metal ou o golpeemos, caso em que acabaremos perturbando essa bela ordenação eletrônica.
Momento magnético da antimatéria.
A conjugação de carga, ligada à transformação matéria-antimatéria no sentido de Dirac (veremos mais adiante o que isso significa), implica a inversão do momento magnético, devido à inversão do coeficiente giromagnético, enquanto o spin permanece inalterado.
É claro que essa simetria C não modifica nem a energia nem o momento da partícula.
As quatro componentes do grupo de Lorentz.
Como já vimos, o elemento L do grupo de Lorentz L é definido axiomáticamente. Ele deve obedecer a:
(135)
(136)
Toda matriz L que obedeça a essa definição pertence ao grupo L. Trata-se de uma matriz de formato (4,4), que pode, por exemplo, atuar sobre:
(137)
ou seja, sobre o espaço-tempo. Assim, temos o direito de nos perguntar se essas matrizes não são capazes de operar simetrias nesse espaço. Seria possível, por exemplo, trocar x por -x? Seria possível classificar essas matrizes em diferentes subconjuntos, aquelas que realizam essa operação e aquelas que não a realizam?
Há muito tempo (em inglês, many beautiful candles ago), tudo isso foi explorado e demonstrado que o grupo de Lorentz é, na verdade, composto por quatro tipos de matrizes.
Ln — aquelas que não invertem nem o espaço nem o tempo.
Ls — aquelas que invertem o espaço.
Lt — aquelas que invertem o tempo.
Lst — aquelas que invertem ambos.
Chamamos esses conjuntos de componentes de um grupo. Assim, o grupo de Lorentz é um grupo com quatro componentes.
Podemos imediatamente produzir quatro matrizes, cada uma pertencente ao subconjunto citado:
(138)
An = 1 (elemento neutro) pertence a Ln: não inverte nem o espaço nem o tempo.
As pertence a Ls: inverte o espaço.
At pertence a Lt: inverte o tempo.
Ast pertence a Lst: inverte tanto o espaço quanto o tempo.
Para formar um grupo (neste caso, um subgrupo do grupo de Lorentz), é necessário que um conjunto de matrizes contenha o elemento neutro 1 no formato (n,n) considerado, aqui: (4,4). Apenas as matrizes do conjunto Ln satisfazem esse critério. Elas formam um subgrupo do grupo de Lorentz. Como esse conjunto contém o elemento neutro do grupo, é também chamado de componente neutra do grupo. Os demais conjuntos de matrizes não formam subgrupos (impossível: não contêm o elemento neutro).
Observação:
(139)
At = -As Ast = -An
Podemos então considerar o conjunto Lo = Ln ∪ Ls, que é um subgrupo do grupo de Lorentz e chamado de ortocrônico [1]. As matrizes Lac = Lt ∪ Lst não formam um grupo, mas o conjunto das componentes ligadas à inversão do tempo, conjunto que chamaremos de anticroônico [12]. O grupo de Lorentz completo é:
(140)
L = Lo ∪ Lac
Mas também podemos observar que o elemento:
(141)
mLo, com m = ±1
cobre todo o grupo.
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