13
As quatro componentes do grupo de Poincaré.
A partir do grupo de Lorentz constrói-se o grupo de Poincaré, já mencionado:
(142)
C é o vetor "translação espaço-temporal".
(143)
Esse grupo de Poincaré também terá quatro componentes, cada uma ligada à componente correspondente do grupo de Lorentz.
Acima, a ação do grupo sobre seu espaço de movimentos. Mas o que é interessante são as ações das quatro componentes sobre o momento. Ver: Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973 (e Birkhauser 1997, em inglês), capítulo III, página 197, seção intitulada:
Inversões de espaço e tempo.
Recordemos as componentes do momento associado ao grupo de Poincaré:
E: energia
p: impulso
f: passagem
l: giro
Para nos aproximar das notações de Souriau, chamemos:
-
L_n a componente neutra do grupo de Lorentz.
-
L_s aquela que inverte o espaço.
-
L_t aquela que inverte o tempo.
-
L_st aquela que inverte ambos.
Como C é uma translação espaço-temporal, as quatro componentes do grupo de Poincaré são:
g_p(L_n, C): componente neutra
g_p(L_s, C): inverte o espaço
g_p(L_t, C): inverte o tempo
g_p(L_st, C): inverte o espaço e o tempo.
Vamos investigar os efeitos sobre as componentes do momento. Devemos considerar as fórmulas que dão a ação do grupo sobre seu espaço de momentos:
(144)
P é o quadrivetor:
(145)
Podemos escrever as matrizes a serem analisadas:
(146)
com l = ±1 e m = ±1.
L_n = L(l = 1; m = 1)
L_s = L(l = -1; m = 1)
L_t = L(l = 1; m = -1)
L_st = L(l = -1; m = -1)
(147)
(148)
Passemos à análise da ação sobre o giro e a passagem.
(149)
Mas, no que nos interessa, C = 0
(150)
donde l' = l e f' = l m f
Deduzimos:
(151)
g_p(L_n, C):
E → E; p → p; f → f; l → l
g_p(L_s, C):
E → E; p → -p; f → -f; l → l
g_p(L_t, C):
E → -E; p → p; f → -f; l → l
g_p(L_st, C):
E → -E; p → -p; f → f; l → l
As inversões nunca alteram o giro l.
Por outro lado, a inversão temporal e a inversão da energia, E → -E, são sinônimas.
O giro é sinônimo de spin, quando quantificado. Nenhuma inversão o altera.
O spin (como módulo do vetor giro da partícula) é apenas um número.
A energia de uma partícula em repouso é mc².
A inversão temporal é sinônima da inversão da massa m.
A inversão espacial não inverte a massa.
As duas primeiras componentes do grupo são denominadas por Souriau ortocronas, e as duas últimas anticronas.
Observa-se que tudo isso levanta o problema das massas negativas, que não são bem vistas pelos físicos. De fato, o que aconteceria com o resultado da colisão de duas partículas com energias +mc² e -mc²? Haveria aniquilação completa. Não se trata apenas da aniquilação matéria-antimatéria, que gera fótons. Tratar-se-ia de um fenômeno que produziria o nada em estado puro.
Para evitar esse problema das massas negativas, Souriau considera duas soluções. A primeira consiste em decidir pura e simplesmente que partículas com massa negativa não existem. A segunda consiste em excluir as transformações anticronas.
Reformulando, poderíamos dizer que:
- Deus, em sua infinita sabedoria...
Continuemos a construir elementos que servirão de ponto de partida para nosso próprio trabalho.
Retorno para o subsumário "grupos e física"