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Extensão central do grupo de Poincaré.
Encontrar-se-á menção a tal extensão no livro de J.M. Souriau, Sur la structure des systèmes dynamiques. Sua metodologia de quantificação geométrica permite, a partir do grupo, recuperar as equações da Mecânica Quântica. Por exemplo, o grupo de Bargmann, que descreve a partícula material não relativística, conduz à equação de Schrödinger, também não relativística.
O ponto de partida é o grupo de Galileu. Trata-se de uma matriz de formato (5,5) construída da seguinte forma:
(152)
A matriz de rotação depende de três parâmetros, os ângulos de Euler. Assim, a dimensão do grupo é dez.
Utilizando as notações:
(153)
(154)
associado ao espaço-tempo:
(155)
Embora isso possa parecer estranho, a construção da ação coadjunta do grupo sobre seu espaço de momentos não faz aparecer a massa m como objeto geométrico. Isso só pode ser feito por meio de uma extensão não trivial desse grupo, o grupo de Bargmann (1960).
(156)
A presença do escalar
f
dá a este grupo uma dimensão a mais: onze.
Esse grupo age sobre um espaço de cinco dimensões, o espaço-tempo, mais uma dimensão adicional
z
, através da ação:
(157)
A ação coadjunta do grupo de Bargmann sobre seu momento foi dada anteriormente. Observa-se que a inclusão do escalar
f
, ao adicionar uma dimensão ao grupo, acrescenta uma componente ao momento, que então se identifica com a massa m (a qual, aliás, é conservada: m' = m).
Partindo do grupo de Bargmann e utilizando sua metodologia de quantificação geométrica, Souriau pode então construir as equações de Schrödinger, não relativísticas.
A equação quântica relativística é a equação de Klein-Gordon. Era, portanto, lógico procurar qual grupo poderia gerá-la. Trata-se da extensão central:
(158)
"pe" para "Poincaré estendido". Aqui construímos o grupo de Poincaré a partir do subgrupo ortocrono do grupo de Lorentz Lo.
O espaço associado a este grupo também é um espaço de cinco dimensões:
(159)
( t , x , y , z ,
z )
.
Essa extensão é mais simples que a de Bargmann, mas, na verdade, as coisas são sempre mais fáceis no contexto relativístico. Demonstra-se, incidentalmente, que entre o 1 e o
f
da primeira linha só pode existir a matriz linha
0
= ( 0 0 0): apenas zeros.
O método de
quantificação geométrica
conduz, então, à equação de Klein-Gordon. Tratando-se da ação do grupo sobre seu espaço de momentos, obtemos o seguinte:
(160)
Jpe = {
c
,
M,
P
} = {
c
,
Jp }
O cálculo não é complicado. Na verdade, replica completamente o cálculo da ação coadjunta do grupo de Poincaré sobre seu momento.
Calcula-se a anti-ação:
(160 b )
em seguida expressa-se a invariância do produto escalar (dualidade):
(160 c)
Se você conseguir sair desse cálculo, será um sinal francamente positivo. Isso significaria que você está começando a se envolver nesse caos.
Aparece, então, um escalar
c
, cuja única função é se conservar. O que significa isso? Não há explicação. É simplesmente "algo que se conserva". Pode-se atribuir a ele, por exemplo, o status de carga elétrica.
A primeira ideia que surge é realizar esse tipo de extensão várias vezes:
(161)
Demonstraremos mais adiante que essa operação pode ser realizada indefinidamente, adicionando, a cada vez, um escalar adicional:
(162)
Jpe = {
c 1
,
c 2
,
c 3
.....,
M,
P } J
pe = {
c 1
,
c 2
,
c 3
.....,
Jp }
com a seguinte ação coadjunta:
(163)
Consideraremos então que certos valores discretos das componentes do momento representam as cargas da partícula.
Bom, dirá o leitor, de fato, poderíamos adicionar, por exemplo, seis linhas extras. Obteríamos então a invariância de escalares que poderíamos identificar com:
(164)
c
1 = e (carga elétrica)
c
2 = cB (carga bariônica)
c
3 = cL (carga leptônica)
c 4 = c m
(carga múonica)
c 5 = c t
(carga tauônica)
c 6 = v
(coeficiente giromagnético)
Bastaria considerar o grupo, com a ação correspondente, associado a um espaço de dez dimensões:
(165)
( x , y , z , t ,
z 1
,
z
2 ,
z
3 ,
z 4
,
z
5 ,
z 6 )
(166)
Mais uma vez, construímos o grupo em torno do subgrupo ortocrono Lo do grupo de Lorentz:
Lo = Ln (componente neutra)
»
Ln (inversão do espaço).
Esse grupo, com duas componentes, faz simplesmente aparecer seis escalares que acompanham a partícula sem interagir com nada. O momento torna-se:
(167)
Jpe = { q , cB , cL , c
m
, c
t
,
v
,
Jp }
Jp sendo a "parte de Poincaré". Mas isso permanece de interesse limitado.
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