Souriau
morou um apartamento no velho Aix. A porta que dá para a rua é esplêndida.
Na entrada está estacionado um veículo bastante peculiar:
uma liteira, de época, que pertence à proprietária
dos lugares, uma senhorita, arqueóloga, acredito. A liteira está contra
a parede. Basta encontrar dois porteiros, colocar os
dois longos suportes de madeira nos anéis e se sentar para
fazer uma volta. As aberturas são de vidro: os vidros dos lados
podem ser baixados, não com uma manivela, mas movendo
cintos de couro, como era o caso nos compartimentos dos trens
de minha infância.
Como
tudo isso é sonhador. Eu percebo que nunca andei em uma liteira. Estou convencido, nestes tempos de desemprego, que
pessoas poderiam ganhar a vida montando a primeira linha regular
de liteiras no velho Aix. Bastaria construir um veículo
que imitasse as liteiras antigas. Isso não deve ser muito difícil. Depois,
comprar dois trajes bordados, duas peruques e em frente. Trajeto:
o Cours Mirabeau. Isso seria suficiente. Depois, basta sonhar,
ter um pouco de imaginação.
Jean-Marie
vive sozinho com seu gato, Pioum, em seu amplo apartamento, cheio de dourados,
de painéis. Pioum é adorável. No entanto, eu não tenho muito apreço
pelos gatos. Mas aquele é extremamente acolhedor e carinhoso.
Trabalhamos geralmente na cozinha, um andar acima.
Uma pequena sala, sob os telhados, cuja pequenez contrasta
com o tamanho imponente das salas de baixo. Sempre que Jean-Marie
tenta me fazer beber sua bebida favorita: o Fernet-Branca, à base de alcachofra, que acho verdadeiramente detestável,
mas ao qual ele atribui todas as virtudes.
Quando
faz uma volta pela cidade, leva seu GPS, que nunca o abandona.
É realmente fascinante ser guiado por satélites situados a quarenta mil quilômetros da rua onde
estamos andando. Para ter melhor recepção, Souriau tende a
andar no eixo da rua, com os olhos fixos na tela de
cristal líquido. Eficaz, parece, mas ainda assim relativamente
perigoso.
Acho
que nos divertimos bem, os dois. Uma noite de dezembro, passei
para visitá-lo, e isso deu a seguinte conversa.
-
Vou
te falar sobre grupos. Você se lembra dos axiomas? -
Sim,
há seis. São:
1 - Existem
elementos a, b, c... pertencentes a um conjunto E
2 - Existe
uma operação interna, notada o ("círculo"), que permite
combinar dois elementos de um conjunto.
a
pertence ao conjunto E
b
pertence ao conjunto E
a o b
pertence ao conjunto E
3 - Esta
operação é associativa:
a o b o c
= (a o b) o c = a o (b o c) 4 - Existe
um elemento neutro e tal que:
a o e = e o a = a 5 - Todo
elemento a do conjunto possui um inverso, notado a -1, tal que:
a -1 o a = a o a -1 = e
Isso faz
cinco?
-
Finalmente,
cinco, ou quatro, ou um. Não há regra absoluta quanto à numeração dos axiomas. Poderíamos também agrupar os axiomas 1 e 2 em um só: -
Existe
elementos a, b, c, etc., pertencentes a um conjunto E, dotado de uma lei de composição interna satisfazendo:
a
pertence ao conjunto E
b
pertence ao conjunto E
a o b
pertence ao conjunto E
é equivalente.
-
Bem,
cinco, quatro, não importa. Onde você quer chegar? -
Vou
fazer desaparecer o que você chamou de axiomas 4 e 5, definindo o
elemento neutro e o inverso, substituindo-os pelo axioma do sanduíche. Em total, os axiomas são:
1 - Existe
elementos a, b, c... pertencentes a um conjunto E
2 - Existe
uma operação interna, notada o ("círculo"), que permite
combinar dois elementos de um conjunto.
a
pertence ao conjunto E
b
pertence ao conjunto E
a o b
pertence ao conjunto E
3 - Esta
operação é associativa:
a o b o c
= (a o b) o c = a o (b o c) 4 - Sejam
três elementos a, b, c, pertencentes ao conjunto E.
Seja a equação:
a o y o b = c
Ela possui
uma solução única.
É isso
que chamo de axioma do sanduíche onde o "presunto" y é colocado entre os elementos a e b, c sendo a entidade do sanduíche. O axioma significa:
Sempre
é possível retirar o presunto de um sanduíche.
e eu
digo que estes axiomas definem os grupos, são equivalentes aos anteriores.
-
Esta
solução única y é elemento do conjunto E, pois a operação é interna e associativa. -
Claro,
isso vai sem dizer. -
Mas
ainda melhor dizendo. Não sei como você vai fazer para recuperar os dois axiomas que se referem ao elemento
neutro e à existência do inverso, mas entendo ao menos
o que o levou a ter esta ideia. -
Eu
me disse "para que serve?" -
Exatamente.
Para que serve ter um elemento neutro? Tal qual, isso significa "se eu tenho um conjunto E, e um elemento neutro, posso compor todos os elementos deste conjunto com este e obter o mesmo resultado". Isso me faz uma bela perna. Da mesma forma, para que serve o inverso em si? Quando fazemos cálculos sobre grupos, sobre qualquer coisa, sempre nos viramos, com multiplicações à direita ou à esquerda por elementos ou seus inversos
para fazer aparecer a o a -1 ou a -1 o a, que substituímos por e, depois b o e ou e o b que substituímos por b. Seu axioma do sanduíche
é "funcional". -
Se
você quiser. Vamos aos teoremas que decorrem do axioma do
sanduíche. O primeiro é:
I - Existe
um elemento neutro que, composto consigo mesmo, dá a si mesmo:
e = e o e
II - Este
elemento neutro é único.
Demonstração:
Partimos
do axioma do sanduíche. A equação a o y o b = c
possui uma solução y única.
Isso também
é verdade se b = c = a, então a o y o a = a
possui uma solução única. Multiplicamos à direita por y:
a o y o a o y = a o y
Chamamos
a o y = e
Este é
um elemento do conjunto, pois a e y pertencem ao conjunto e a operação é interna. Portanto, existe um elemento do conjunto tal que:
e o e = e
O teorema I está demonstrado. Vamos à unicidade, ao teorema II. Se não houvesse unicidade, existiria outro elemento do conjunto, chamemo-lo f, que obedeceria a:
f o f = f
Temos:
e o e = e
Multiplicamos
à direita por f:
e o e o f = e o f
Re-multiplicamos
à direita por e:
e o e o f o e = e o f o e
Usamos
a associatividade:
e o (e o f) o e = e o f o e
São
dois sanduíches. Chamemo-los:
p = e o (e o f) q = e o f o e
Segundo
o axioma do sanduíche, podemos "extrair o presunto", ou seja, calcular as expressões de (e o f) e f que serão iguais, pois p = q. Portanto:
(e o f) = f
Recomeçamos
partindo da proposição atribuída a este segundo elemento f:
f o f = f
Multiplicamos
à direita por e, duas vezes à esquerda:
e o f o f = e o f e o e o f o f = e o e o f
Usamos
a associatividade:
e o (e o f) o f = e o e o f
Usando
pela segunda vez o axioma do sanduíche, concluímos que:
e o f = e
portanto:
e = f
Teorema
III: Se eu pegar este elemento e "igual ao seu quadrado", ele implica que a o e = a
Demonstração:
Utilizamos...