Como transformar uma superfície Cross Cap
em uma superfície de Boy (esquerda ou direita, à escolha)
passando pela superfície romana de Steiner.
Italiano
: Andrea Sambusetti, universidade de Roma
27 de setembro
- 25 de outubro de 2003
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Quanto, como diria Kipling, exige
"grande astúcia e magia poderosa".
Sou aposentado, mas, me atrevo a dizer,
continuo fazendo um pouco de pesquisa "contra minha vontade", como outros, em seu
tempo livre, fazem tricô. Se tiverem paciência e conseguirem cartolina Bristol de 200 g. com quadriculados, poderão reconstruir vocês mesmos todos esses
modelos. Meu amigo Christophe Tardy está construindo, a partir deles,
uma animação que certamente não ficará ruim.
La superfície Cross Cap aparecerá nos
desenhos que se seguem, assim como a superfície romana de Steiner. Mas vocês
podem descobri-las indo para a seção
Realidade Virtual
,
para a qual é necessário baixar o programa Cosmoplayer no seu
computador. Façam isso, é realmente bonito. Tudo gira em torno dos "pontos
cúspides". Esses pontos se formam de maneira natural quando monta-se a cavalo e aperta-se fortemente as pernas. O corpo do cavalo então ficará comprimido ao longo de um segmento. A coxa direita se fixará ao longo desse segmento à sua ombreira direita, enquanto a coxa esquerda se fixará à ombreira esquerda. Quanto ao ponto cúspide, não o procurem: simplesmente estão sentados sobre ele.
Mas tudo isso é desenhado... arredondado.
Passemos a uma "representação poliédrica" do ponto cúspide
(assim como um cubo ou um tetraedro podem ser considerados representações
poliédricas de uma simples esfera). A linha em negrito representa a
"curva de auto-interseção", que termina no ponto cúspide
C.
Sim, imprima estas tabelas, é melhor.
No futuro, será útil saber reconhecer um ponto cúspide em "configurações
diferentes" e não confundi-lo com um simples vértice do poliedro. Construam,
se se sentirem com forças, esses diferentes objetos com cartolina, entenderão melhor.
Aqui temos uma operação essencial, chamada "criação-destruição de um par de pontos cúspides". O primeiro desenho representa uma espécie de cilindro que se auto-interseca ao longo do segmento desenhado em negrito, cuja seção lembra a letra grega gamma, invertida. Então deformamos essa superfície "apertando" o tubo cuja seção se assemelha a uma "lágrima invertida". Fazendo isso, fazemos degenerar essa "lágrima" em um ponto
S. Depois, esse ponto se divide
dando origem a dois pontos cúspides. Essa é a operação de criação de um par de pontos cúspides. A operação oposta, ao contrário, destrói dois pontos cúspides. Logo abaixo, temos a versão poliédrica dessa operação.
Qui em seguida, temos outra representação
poliédrica da transformação, que se assemelha ao que veremos se formar
na superfície em breve.
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