Como transformar uma superfície Cross Cap
em uma superfície de Boy (esquerda ou direita, à escolha)
passando pela superfície romana de Steiner.
Italiano
: Andrea Sambusetti, universidade de Roma
27 de setembro
- 25 de outubro de 2003
página 2
E
sta é uma "superfície Cross Cap"
(como você a teria descoberto nas imagens de realidade virtual). Ela apresenta
dois pontos cúspides que são vértices de uma linha de auto-interseção. A
pode ser construída amassando um balão com grampos para cachos.
Mas você também pode construir representações poliédricas. A que está abaixo
nos interessará particularmente.
N
a tabela 4 encontra-se a coisa mais
difícil de aprender. Parece-me impossível que alguém entenda bem esses
objetos simplesmente olhando para as figuras. Construa modelos. Em palavras
simples, puxa-se o ponto cúspide
C 2
para "o interior da superfície" (o que, entre parênteses, não tem nenhum sentido, pois,
como você certamente notou logo de início, a superfície Cross Cap é unilátera:
não possui uma face externa e uma interna). Insistindo, a superfície se "autoatravessa",
e o conjunto de auto-interseção se completa, suavizando um pouco as formas,
com uma curva em forma de 8. Criou-se, por sinal, um ponto triplo
T
.
A
superfície torna-se mais compreensível
na sua forma poliédrica e, abaixo, ampliamos certos elementos
para mostrar o que nos leva a transformar este objeto em superfície romana de Steiner (veja a simulação de realidade virtual), cuja forma poliédrica mais simples consiste em montar quatro cubos (aqui vemos apenas três).
T
abela 5: versão poliédrica à esquerda,
redonda à direita. A seta passa pelo ponto que vamos "espremer".
Mais abaixo, o início da operação de espremer.
T
abela 6: o espremer é realizado
e cria um ponto singular
B
. Na verdade, como o esprememos
de ambos os lados (para poupar tempo), formam-se dois pontos singulares
S 1 e
S 1, depois dois pontos cúspides. Neste ponto, sem cartolina, tesoura e fita adesiva, você está em apuros.
T
abela 7: aqui simplesmente
fizemos migrar os diferentes pontos cúspides. Se o ponto
C 2
é "evidente",
você certamente terá mais dificuldade em identificar os pontos
C 3 e C
4 como cuspídeos. Eles estão lá, nas extremidades de uma linha de
auto-interseção. Acima do ponto
C 3
encontra-se simplesmente o que chamei de um "posicono", ou seja, um ponto em que se concentra
curvatura positiva (um ponto em que se concentra curvatura negativa chamo de "negacono"). Deformando um pouco este objeto,
chegamos à forma poliédrica da superfície romana de Steiner (inventada por Steiner em Roma; veja sua ilustração em realidade virtual).
D
e modo que o jogo está feito. Existem vários
tipos de superfícies, segundo as regras que se impõem. As superfícies que não
se auto-intersectam são chamadas de "embeddings" (da esfera, ou do toro
em
R 3). Quando, por outro lado, se auto-intersectam mas o plano tangente
varia de forma contínua sem degenerar, são chamadas
imersões. Por exemplo: a garrafa de Klein, na sua representação clássica. Em
R 3
não existe uma representação da garrafa de Klein sob forma de embedding:
ela necessariamente se auto-intersecta. As imersões possuem conjuntos de
auto-interseção
sem pontos cuspídeos. Esses conjuntos são curvas contínuas,
mas podem cruzar em pontos duplos ou triplas. Observação: a esfera pode
ser realizada sob forma de imersão (que não é um embedding) fazendo-a
se auto-interseccionar. É exatamente assim que se consegue virá-la (cf. o método de A. Phillips, 1967, que tem como passo central o revestimento duplo de uma superfície de Boy; e veja também B. Morin e J.P. Petit, 1979, em que se toma como modelo central o modelo "de quatro orelhas" de Morin, cuja representação poliédrica, que inventei há uma década, está abaixo).
Plano
de montagem deste objeto com papel e tesoura
S
e se estendem as regras do jogo
aceitando que esses objetos admitam também pontos cuspídeos, obtêm-se
as
summersions
(a Cross Cap, a superfície romana de Steiner).
Não sei se "summersion" é o termo correto, mas como não encontrei nenhum matemático que pudesse esclarecer minhas ideias sobre isso, achei divertido inventar um, provisoriamente, pelo menos até que um geômetra experiente apareça. Assim, a superfície Cross Cap e a superfície romana de Steiner seriam summersions do "plano projetivo".
P
ara ser franco, após vinte e cinco
anos de atividade e minhas decepções em Magneto-Hidrodinâmica, comecei esses trabalhos porque me pareciam os mais distantes possíveis de qualquer aplicação militar. Mas, como meu velho amigo Mihn me fez notar, o termo "summersion" poderia gerar confusão e fazer a Marinha Militar acreditar que, por meio dessas pesquisas, eu estaria tentando esconder avanços em propulsão submarina.
A
regra de "criação-desfazimento"
de pares de pontos cuspídeos permite passar de uma summersion de um
objeto a outra, e foi exatamente isso que fizemos, mostrando que a
Cross Cap e a superfície romana de Steiner são duas summersions do mesmo
objeto, conhecido como
plano projetivo.
Não tente imaginar um "plano
projetivo". Esse objeto só pode ser compreendido através de várias
representações diferentes. Quanto ao termo "projetivo", não é
nada mais que um entre mil inventados pelos matemáticos para afastar
aqueles que desejam penetrar em seu círculo fechado. O Zanichelli não lhe será de nenhuma utilidade em matemática.
Resta-nos, portanto, ver como
passar para a superfície de Boy, que é uma imersão do plano projetivo
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