Como transformar uma superfície Cross Cap
em uma superfície de Boy (direita ou esquerda, a escolha)
passando pela superfície romana de Steiner.
Italiano
: Andrea Sambusetti, Universidade de Roma
27 de setembro
- 25 de outubro de 2003
página 4
Apresentamos o modelo ainda de outro ponto de vista:
Tabela 14: repetimos sempre a mesma operação, criando o terceiro "ouvido" da curva de auto-interseção. No modelo poliédrico, este último tem a forma de três quadrados com um vértice em comum: o ponto triplo T.
Tabela 15: rodando o objeto, vocês encontrarão a versão poliédrica da superfície de Boy que apresentei no Topologicon (onde também podem encontrar um plano de montagem que permite construí-la).
Última tabela: procurei ilustrar a superfície de Steiner enquanto se contorce e se transforma em superfície de Boy.
Vemos que, desenhada em "redondinho", exige bastante prática para ser compreendida. Nosso olho se sente muito desconfortável quando se trata de entender um objeto em que, em uma mesma linha visual, se sobrepõem mais de duas folhas. Daí o interesse do modelo poliédrico, que torna acessíveis, mesmo para quem tenta construir os pequenos modelos sozinho, transformações consideradas complicadas na geometria. Observamos, por acaso, que, dependendo das duplas de pontos cuspídeos escolhidos, obtém-se uma superfície de Boy "direita" ou "esquerda" (definições completamente arbitrárias). O plano projetivo se imerge no espaço por meio de duas representações "antiautomorfas" espelhadas. Vemos, portanto, que é possível passar de uma superfície de Boy direita a uma superfície de Boy esquerda por meio de um modelo "central", que é a superfície romana de Steiner.
Seria certamente legal se esses desenhos fossem publicados em revistas como Pour la Science ou La Recherche. Mas, há vinte anos, me foi "proibida" a publicação nessas revistas por causa de desvio ufológico. Obrigado, senhores Hervé This e Philippe Boulanger. Perdi a conta dos artigos desse tipo que propus a essas revistas e que foram gentilmente recusados. Acaba-se, afinal, se acostumando ao próprio estatuto de excomungado.
A título anedótico, existe um "prêmio d'Alembert" destinado a premiar autores de livros de divulgação matemática. A história me foi contada por um membro da comissão encarregada de decidir a quem deveria ser atribuído o prêmio (há, no fundo, questões de dinheiro envolvidas). Diálogo:
-
Enfim, por que não damos o prêmio a Petit? Ele escreveu obras notáveis como o "Géométricon", o "Trou Noir" e o "Topologicon".
-
Sim, mas ele não fez só isso.
-
A que se refere?
-
Ele também escreveu o "Mur du Silence".
-
Ah, bom, então...
Bem, sim, o "Mur du Silence", publicado em 1983, é um álbum dedicado à MHD. E, como todos sabemos, essa ciência corrosiva tem, como virtude ou defeito,
a capacidade de permitir que os discos voadores se movam a velocidades supersônicas sem fazer "Bang".
« Cachez cette science, que je ne saurais voir »
Tenho nas minhas caixas uma versão magnífica do "virar do cubo", que não é a versão poliédrica da variante de Morin. Tudo obra minha. Um desses dias...
22 de outubro de 2003
: Não se esforçam muito nessas páginas, se posso acreditar no contador. Na segunda-feira, 13 de outubro de 2003, ministrei um seminário no CMI (Centro de Matemática e Informática de Château-Gombert-Marseille) convidado por Trotman. Na ocasião, pude retirar uma coleção de cerca de trinta modelos em cartolina, cuja primícia vocês poderão desfrutar um dia, já que foram fotografados por Christophe Tardy.
Quando se dá um seminário, cria-se uma certa atmosfera. Na foto abaixo, temos um geômetra expressando sua perplexidade.
Ao fundo, parte dos modelos expostos com a ajuda de meu colaborador de longa data, Boris Kolev, também membro do departamento e geômetra. Em determinado momento, fiz a pergunta:
- Quantos de vocês já viram uma superfície romana de Steiner? Levantem a mão.
Ninguém jamais a havia visto. Achei, portanto, útil apresentar esse objeto, com um programa de realidade virtual, no laptop que trazia comigo, programa desenvolvido com a ajuda de Christophe Tardy, engenheiro, e de Frédéric Descamp, do Instituto Laue Langevin de Grenoble (ILL). Claramente, essa apresentação desconcerta o público, pouco acostumado a ver superfícies matemáticas girando à vontade.
Duas tabelas de cartolina, visíveis em primeiro plano, permitiram apresentar toda a sequência de modelos em sua ordem lógica. Os modelos em verde e amarelo ilustram, em forma poliédrica, a ferramenta essencial para criação e dissolução de um par de pontos cuspídeos. O objeto branco mais distante é uma versão poliédrica da superfície Cross Cap, que se transforma primeiro na versão poliédrica da superfície romana de Steiner, depois, a um metro de distância, conforme o gosto, em superfície de Boy "direita" ou "esquerda".
A análise dos modelos desperta várias observações no público. Um dos geômetras pergunta:
- Se é verdade que, seguindo os modelos nesta ordem, pode-se passar da superfície Cross Cap para a de Boy, parece que, seguindo o procedimento inverso, pode-se transformar uma superfície de Boy em uma Cross Cap.
Respondo afirmativamente. Animado, meu interlocutor acrescenta:
- Então, se chegarmos ao estágio da superfície romana de Steiner e pararmos, deveria ser possível retornar a uma superfície de Boy, mas refletida em relação à inicial.
Concordo pela segunda vez. Mas, infelizmente, ninguém se oferecerá para esclarecer esse mundo estranho em que se permite que imersões de superfícies fechadas tenham pontos cuspídeos, criados ou dissolvidos em pares, cujo conjunto constitui uma espécie de extensão do mundo das imersões. O termo "sommersão" me parece adequado. Se um leitor for capaz de dar algum esclarecimento, será bem-vindo.
Curvatura concentrada em um ponto cuspídeo.
Calcularemos somando os ângulos no vértice e comparando essa soma com o resultado obtido no caso do plano euclidiano: 2π.
No canto superior esquerdo, vocês podem ver uma das muitas representações poliédricas possíveis de um ponto cuspídeo. "Desmontando" a superfície, chega-se a uma soma de ângulos que supera o valor 2π em 2α. Deduz-se que a curvatura angular concentrada ao redor desse ponto C é -2α. Se o ângulo α for igual a π/2, então a curvatura negativa vale -π (figura no canto inferior esquerdo). Na verdade, a curvatura de um ponto cuspídeo pode assumir infinitos valores. No canto inferior direito, enfatizamos a soma angular e a curvatura torna-se então < -π (aumentamos a curvatura negativa).
Operando de forma inversa, podemos chegar a uma situação bastante surpreendente: podemos fazer com que a curvatura (angular) concentrada em C seja... nula:
Agora partimos de uma representação poliédrica da superfície Cross Cap com dois pontos cuspídeos, cada um com curvatura igual a -π:
Nesta figura há oito "posicones" correspondentes de valor +π/2. Adicionamos quatro outros "posicones" de curvatura +π/4 e quatro "negacones" de curvatura -π/4.
Mais os dois pontos cuspídeos de curvatura -π.
Total: 2π
Dividindo o valor dessa "curvatura total" por 2π, recuperamos o valor da característica de Euler-Poincaré de qualquer representação do plano projetivo (ou da superfície de Boy).
Durante a conferência, mencionei a...