Italiano
: Andrea Sambusetti, universidade de Roma
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para fazer
aparecer o desenho do modelo em escala 1:1, para imprimir e recortar.
Fazendo cópias de quatro exemplares em cartolina Bristol de dois cores
diferentes, você poderá construir o modelo sozinho,
seguindo as instruções para montá-lo
A
você certamente viu um objeto estranho girar ininterruptamente
na parte esquerda da página inicial deste site. Do que se trata?
U
m dia, quando encontrar tempo, instalar
neste site uma descrição do viramento da esfera, como
eu a ilustrei no número de Pour la Science de janeiro de 1979, ou seja...
há 22 anos! Tudo isso exigirá muitos detalhes e uma introdução.
O que significa "virar uma esfera"? Uma esfera não tem o mesmo
significado para o homem comum e para o matemático-geômetra. Para o homem comum,
não é outra coisa senão o conjunto dos pontos do espaço situados a uma distância
R de um ponto O fixado. Um geômetra continuará a chamar "esfera",
porém, mesmo um objeto que corresponda a uma "esfera deformada",
como uma batata, por exemplo. Para compreender melhor estes conceitos,
obtenha o CD de Lanturlu contendo a tirinha "Topologicon".
Mas o matemático vai ainda mais longe. Uma superfície é dita
"regular" quando em cada um dos seus pontos se pode definir
um plano tangente. Isto já permite pensar em uma infinidade
de deformações regulares possíveis da esfera, nas infinitas possíveis formas
de uma batata, variando também de forma arbitrária a área desta superfície.
Dito isto, no nosso universo físico, uma pessoa que tentar virar
a esfera (ou seja, levar a superfície interna para fora) se deparará
com a impossibilidade de conseguir que sua superfície se atravesse automaticamente.
Quando se assume esta hipótese, ou seja, se proíbe que a superfície
se atravesse ou mesmo que apenas "toque", o matemático fala
de "embebição" da esfera S2. Mas o matemático sempre se permite tudo. Uma
esfera é, para ele, um objeto "virtual" e não material, em
que o atravessamento de uma folha é considerado possível. A sequência
de desenhos abaixo mostra uma esfera que se atravessa automaticamente. Uma representação
deste tipo, que admita ou seja, autoatrasamentos, é chamada
de "imersão".
U
ma imersão possui, portanto, um conjunto de auto-interseções
(aqui trata-se de uma simples curva circular). O plano tangente, porém,
deve variar de maneira contínua. Dito isto, quando se observa o desenho
acima, percebe-se claramente que a operação leva uma parte da superfície interna
(representada em verde) para fora. Para completar o viramento, seria necessário
esmagar este tipo de intestino equatorial. Aqui parece haver um problema:
este esmagamento destruiria a continuidade do plano tangente,
e esta transformação conteria, portanto, um passo que não é uma imersão.
U
m dia, um matemático americano, Stephen Smale, demonstrou
que "a esfera S2 possui apenas uma classe de imersões". Esta frase
enigmática tinha como conseqüência que seria possível passar,
por meio de uma transformação que contenha apenas verdadeiras imersões, da esfera "padrão"
para sua representação "antípoda", ou seja, em que cada ponto
é trocado pelo seu antípoda: em outras palavras... uma esfera virada.
Raoul Bott era o chefe de Smale. Tanto a demonstração formal deste fato
parecia correta, tanto ninguém parecia capaz de realizar concretamente
esta operação de viramento. Bott continuava perguntando a Smale "me mostre
como você pensaria em proceder"; e Smale, notoriamente sem rodeios, respondia "não tenho a menor ideia".
Smale recebeu posteriormente a medalha Fields, o equivalente ao Nobel para a matemática.
Por sinal, vocês se perguntarão talvez por que não existe o prêmio Nobel para
a matemática. A resposta é simples: sua esposa fugiu com
um matemático.
L
as coisas permaneceram assim por um bom número de anos,
até que um matemático americano chamado Anthony Phillips publicou
em 1967, na Scientific American, uma primeira versão deste viramento,
extremamente complicada. A segunda foi inventada no início dos anos setenta
pelo matemático francês (não vidente) Bernard Morin. Fui o primeiro a desenhar
a sequência das transformações, que será objeto, como eu anunciei,
de um próximo artigo neste site, por sinal bem abastecido. De qualquer forma, tudo
isso nos leva a uma consideração. As superfícies podem ser representadas
em forma poliédrica. Um cubo ou um tetraedro podem ser considerados como
representações poliédricas da esfera, no sentido em que estes objetos têm
a mesma topologia. Sobre este ponto, consulte o meu Topologicon. Além disso
percebe-se que, se é possível virar a esfera, será igualmente
possível virar um cubo. A transformação inventada por Bernard Morin (que
ilustrei no artigo de janeiro de 1979 na Pour la Science) passa por um
modelo central. Existe uma simetria nesta sequência. É aquela que
chamo de "modelo central com 4 orelhas". Estou antecipando coisas.
De qualquer forma, como a esfera se presta a representações poliédricas, o mesmo
vale para os passos seguintes desta transformação. O que vocês veem girar
na minha página inicial é a versão poliédrica do modelo central
do viramento da esfera, que inventei há cerca de uma década. O interesse
destes modelos poliédricos está no fato de que podem ser construídos com
superfícies planas. Eles também podem ser construídos com papel e tesoura. Dê uma olhada
no desenho abaixo (agradeço entre parênteses ao meu amigo Christophe Tardy,
que produziu os elementos de medida correta).
Grande
E
' um plano de montagem do qual você tem aqui uma visão
geral. Mas para imprimi-lo é preferível que você passe para a página de recorte.
Imprima-a. Em seguida, com este exemplar impresso na usual
papel da sua impressora, faça quatro cópias idênticas, duas em cartolina
Bristol verde, e duas em amarelo. Você será capaz, por meio destes folhas
para recortar, de construir o modelo central do viramento do cubo.
S
obre os elementos a recortar há pares de letras
: a , b c , d , e , f etc.... Basta dobrar o papel levando a
coincidir as mesmas letras, e depois fixar as faces com fita adesiva transparente. Os desenhos que seguem mostram a maneira de montar um dos quatro
pedaços. Eis primeiro como deve-se começar a dobrar um dos quatro elementos
:
E
ste são dois dos quatro elementos, vistos de ângulos diferentes.
S
ão então colocados de modo a dar origem a um objeto
com uma simetria de ordem quatro, em que se alternam elementos verdes e amarelos.
Para vê-lo em 3D, dê uma olhada na realização de Tardy, na seção
"realidade virtual". O modelo central está montado e também
realizado em "vrml" nesta seção. Aqui está ele reproduzido de vários
pontos de vista :
N
ão se pode dizer que um ponto de vista corresponda
ao "acima" e o outro ao "abaixo", já que estas
denominações são perfeitamente arbitrárias. Na imagem da esquerda, o ponto
"central" corresponde ao "ponto duplo" (em que duas folhas
se cruzam) do modelo central de Morin, enquanto o ponto central da imagem
da direita corresponde ao "ponto quádruplo" do mesmo modelo (em
que quatro folhas se cruzam). Eu tive que orientar o objeto com muito cuidado,
de modo que a imagem da esquerda não evocasse uma suástica. Apenas isso,
do ponto de vista arquitetural, esta representação poliédrica do modelo
central...