Como transformar uma crosscap em uma superfície de Boy (direita ou esquerda, à escolha), passando pela superfície romana de Steiner.
27 de setembro - 25 de outubro de 2003
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Tudo isso, como diria Kipling, é "grande truque e força mágica".
Estou aposentado, mas, poderia dizer, ainda faço um pouco de pesquisa, contra minha vontade, como outros alinham fileiras de tricô. Se você tiver paciência e conseguir folhas de cartolina de 200 g com quadriculado, poderá facilmente reconstruir todos esses modelos. Meu amigo Christophe Tardy está montando a partir disso uma animação, que deverá ser bem interessante.
A crosscap aparecerá nos desenhos que se seguem, assim como a superfície romana de Steiner. Mas você pode descobri-las indo para a seção
Realidade Virtual
, que exige que você tenha baixado o Cosmoplayer na sua máquina. Faça isso, é realmente legal. Tudo se baseia nos "pontos cuspidais". Esses pontos se formam naturalmente quando você monta em um cavalo e aperta as pernas de repente. O corpo do cavalo então fica esmagado ao longo de um segmento. A coxa esquerda se conecta então com o ombro direito, enquanto a coxa direita se conecta com o ombro esquerdo. Quanto ao ponto cuspidal, não o procure: você simplesmente está sentado sobre ele.
Mas tudo isso é... redondo. Passemos a uma "representação poliédrica" do ponto cuspidal (assim como um cubo ou um tetraedro podem ser considerados representações poliédricas de uma simples esfera). A linha grossa representa a "curva de auto-interseção", terminada, aliás, pelo ponto cuspidal
C.
Imprima essas folhas, será melhor. No que se segue, você precisará reconhecer um ponto cuspidal em "diferentes configurações" e não confundi-lo com um simples vértice do poliedro. Construa, se tiver coragem, esses diferentes objetos com cartolina, você os entenderá melhor. A seguir temos uma operação essencial, chamada de "criação-decréação de um par de pontos cuspidais". O primeiro desenho representa uma espécie de cilindro que se sobrepõe a si mesmo ao longo da linha grossa, cuja seção lembra a letra grega gama, de cabeça para baixo. Então, deformamos essa superfície apertando o tubo cuja seção tem a forma de uma "lágrima de cabeça para baixo". Essa lágrima degenera em um ponto
S. Em seguida, esse ponto se divide, produzindo dois pontos cuspidais. É a criação de um par. A operação inversa faz desaparecer dois pontos cuspidais. Abaixo, você encontra a versão poliédrica da operação.
A seguir, outra representação poliédrica da transformação, próxima do que você verá acontecer na superfície em seguida.
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