Como transformar uma crosscap em uma superfície de Boy (direita ou esquerda, à escolha), passando pela superfície romana de Steiner.
27 de setembro de 2003
página 4
Apresenta-se então o modelo sob outro ângulo:
Plancha 14: Repete-se a mesma operação, criando a terceira "orelha" da curva de auto-interseção. Na versão poliédrica, esta tem a forma de três quadrados com um vértice comum: o ponto triplo T.
Plancha 15: Ao girar o objeto, você encontra a versão poliédrica da superfície de Boy que eu havia apresentado e mostrado no Topologicon (onde há um recorte que permite construí-la).
Última plancha: Tentei representar a superfície de Steiner (de quarto grau, enquanto a de Boy é de sexto grau) enquanto se contorce e se transforma em superfície de Boy.
Vê-se que, em "redondo", é preciso uma grande familiaridade para compreender o objeto. Nosso olho se sente muito desconfortável ao tentar entender um objeto onde, numa mesma linha de visão, se sobrepõem mais de duas folhas. Daí o interesse pela versão poliédrica, que torna acessíveis ao público em geral transformações consideradas sofisticadas na geometria, desde que as pessoas façam o esforço de construir os modelos por si mesmas. Ao passo, observa-se que, dependendo dos pares de pontos cuspidais escolhidos, obtém-se uma superfície de Boy "direita" ou "esquerda" (palavras totalmente arbitrárias). O plano projetivo se imerge segundo duas representações "enantiomorfas", em espelho. Vê-se que é possível passar de uma Boy direita para uma Boy esquerda por meio de um modelo "central", que é a superfície romana de Steiner.
Seria certamente agradável que desenhos como esses fossem publicados na Pour la Science ou na La Recherche. Mas, desde há vinte anos, estou "proibido de publicação" nessas revistas por causa de deviantismo ovni. Obrigado, senhores Hervé This e Philippe Boulanger. Já não conto os artigos desse tipo que enviei a essas revistas e que foram educadamente devolvidos. Acaba-se se acostumando com o status de excomungado.
A título anedótico, existe na França um "prêmio d'Alembert" destinado a premiar autores de livros de divulgação matemática. A história me foi contada por um membro da comissão encarregada de decidir quem deveria receber o prêmio (há, afinal, algum dinheiro em jogo). Diálogo:
-
Mas afinal, não poderíamos atribuir o prêmio a Petit? Ele fez obras notáveis como o Géométricon, o Trou Noir e o Topologicon.
-
Sim, mas ele não fez apenas esses álbuns.
-
A que se refere?
-
Ele também escreveu o Mur du Silence.
-
Ah, nesse caso...
É, o Mur du Silence, publicado em 83, é um álbum dedicado à MHD. E, como todos sabem, essa ciência sulfurosa tem a virtude — ou a malícia — de permitir que as naves espaciais se movam a velocidade supersônica sem fazer bang.
Esconda essa ciência, que eu não saberia ver.
Tenho em meus arquivos uma versão esplêndida do "virar do cubo", com um modelo central de toda beleza, que não é a versão poliédrica da variante de Morin. Tudo feito por mim. Um desses dias...
22 de outubro de 2003
: Não há muita gente nessas páginas, pelo que vejo no contador. No dia 13 de outubro de 2003, dei um seminário no CMI (Centro de Matemática e Informática de Château-Gombert-Marselha) por convite de Trotman. Na ocasião, pude alinhar uma coleção de cerca de trinta modelos de cartolina, que terão em breve sua estreia, já que foram fotografados por Christophe Tardy.
Quando se dá um seminário, uma atmosfera se cria. Na foto seguinte, um geométrico expressa sua perplexidade.
Ao fundo, parte dos modelos expostos. Em determinado momento, fiz a pergunta:
- Quem já viu uma superfície romana de Steiner? Levante a mão.
Ninguém jamais tinha visto. Decidi então apresentar o objeto, na verdade virtual, no laptop que trouxe, obra realizada com a colaboração de Christophe Tardy, engenheiro, e de Frédéric Descamp, do Instituto Laue Langevin de Grenoble (ILL). Obviamente, essa apresentação desconcertou a assistência, pouco acostumada a ver superfícies matemáticas girando à vontade.
Dois painéis de cartolina, visíveis em primeiro plano, permitiram apresentar a sequência dos modelos na ordem lógica. Os modelos "verde e amarelo" ilustram, na versão poliédrica, a ferramenta essencial para a criação e destruição de um par de pontos cuspidais. O objeto branco mais distante é uma versão poliédrica da crosscap, que primeiro se transforma em versão poliédrica da superfície romana de Steiner, um metro adiante, e depois, à vontade, em superfície de Boy "direita" ou "esquerda".
A análise das maquetas despertou diversas observações na assistência. Um dos geométricos perguntou:
- Se, seguindo as maquetas nesse sentido, podemos passar da crosscap para a Boy, parece que, fazendo o inverso, podemos transformar uma Boy em crosscap.
Respondi afirmativamente. Encorajado, meu interlocutor acrescentou:
- Se, ao chegar ao estágio da superfície romana de Steiner, paramos, então é possível retomar em direção a uma Boy em espelho.
Aprovo novamente. Mas, infelizmente, ninguém se oferecerá para esclarecer esse mundo estranho onde se dotam imersões de superfícies fechadas de pontos cuspidais, criados ou aniquilados em pares, constituindo, em conjunto, uma espécie de extensão do mundo das imersões. A palavra "submersões" me parece adequada. Se algum leitor encontrar esclarecimentos, serão bem-vindos.
Curvatura concentrada em um ponto cuspidal
Calcula-se somando os ângulos no vértice e comparando essa soma com a soma euclidiana: 2π.
No canto superior esquerdo, mostramos uma das múltiplas representações poliédricas do ponto cuspidal. O "desmonte" do objeto (à direita) leva a uma soma que excede a soma euclidiana 2π em uma quantidade 2α. Conclui-se então que a curvatura angular concentrada no entorno desse ponto C é -2α. Se o ângulo α for igual a π/2, a curvatura negativa vale -π (figura embaixo e à esquerda). Na verdade, a curvatura concentrada em um ponto cuspidal pode assumir infinitos valores. Embaixo e à direita, aumentamos a soma angular e a curvatura passa a ser < -2α. Aumentamos a curvatura negativa.
Operando de maneira inversa, pode-se chegar a uma situação bastante surpreendente: tornar a curvatura (angular) concentrada em C... nula:
Agora podemos partir de uma representação poliédrica da crosscap com dois pontos cuspidais, cada um correspondendo a uma curvatura negativa igual a -π:
Há oito "posicoins" correspondendo a um valor +π/2. Adicionamos quatro outros "posicoins" com curvatura +π/4 e quatro "negacoins" com curvatura -π/4. Mais os dois pontos cuspidais com curvatura -π.
Total: 2π.
Dividindo essa curvatura total por 2π, recuperamos a característica de Euler-Poincaré de todas as representações do plano projetivo (como a superfície de Boy).
Durante minha conferência, mencionei a arte e a maneira de permutar os dois pontos cuspidais de uma crosscap, usando o virar da esfera. Não me lembro se já coloquei isso em algum lugar no meu site. É um tal caos. Terei que procurar, senão colocarei em algum lugar. É bem divertido...