O Modelo Central do Retorno do Cubo
31 de dezembro de 2001
Você já viu, ininterruptamente, um objeto estranho girando na parte esquerda da página inicial do site. Do que se trata?
Um dia, quando tiver tempo, instalaré no site uma descrição do retorno da esfera, como eu o ilustrei no número de janeiro de 1979 da Pour la science, ou seja, há ... 22 anos. Isso evidentemente exigiria muitos detalhes e uma introdução. Retornar uma esfera, o que significa isso? Uma esfera não tem o mesmo significado para o homem da rua e para o matemático-geômetra. Para o homem da rua, ela é definida como o conjunto dos pontos situados a uma distância R de um ponto fixo O desse espaço tridimensional. Um geômetra continuará a chamar de "esfera" um objeto que corresponderia a uma "esfera deformada", uma espécie de "batata". Para compreender melhor todos esses conceitos, compre o CD Lanturlu que contém a tirinha "Le Topologicon". Mas o matemático vai ainda mais longe. Quando uma superfície é dita "regular", pode-se definir, em cada um dos seus pontos, um plano tangente. Isso já permite considerar uma infinidade de deformações da "esfera inicial" em uma infinidade de batatas, quando, além disso, a área da dita superfície pode ser qualquer. Nesse caso, em um "universo físico", a pessoa que deforma essa esfera se deparará com a impossibilidade de fazê-la atravessar-se a si mesma. Se essas atravessadas ou mesmo esses contatos forem proibidos, falaremos então de
embelezamentos da esfera S2
. Mas um matemático se dá todos os direitos. Uma esfera é, para ele, um objeto "virtual" onde as atravessadas de folhas tornam-se possíveis. A sequência de desenhos a seguir mostra uma esfera que se "auto-atravessou". Chamamos então dessa representação da esfera de
imersão
.
Uma imersão possui um
conjunto de auto-interseção
ou de
self-intersection
(aqui uma simples curva circular). O plano tangente deve variar continuamente. Nesse caso, quando olhamos os desenhos acima, vemos que a operação gira bem uma parte (representada pela cor verde) do interior da esfera para fora. Para concluir esse tipo de retorno, seria necessário esmagar esse tipo de bolo equatorial. A coisa parece a priori problemática. Esse esmagamento quebraria a continuidade do plano tangente. A operação incluiria então uma etapa que não seria uma imersão.
Um dia, um matemático americano, Stephen Smale, demonstrou que "a esfera S2 possuía apenas uma classe de imersão". O corolário dessa frase enigmática era que se deveria poder encadear uma sequência de imersões da esfera para passar da "esfera padrão" para sua representação "antípoda", ou seja, onde todos os pontos teriam sido substituídos pelos seus antípodas. Em resumo ... uma esfera virada, frente-verso. Raoul Bott era o chefe de Smale. Tanto a demonstração do último, puramente formal, parecia impecável, quanto ninguém via como realizar a operação. Bott dizia constantemente a Smale "mostre-me como você planejaria proceder", a que Smale, com seu famoso cabelo na língua, respondia "não tenho a menor ideia". Smale recebeu posteriormente a medalha Field, equivalente ao Prêmio Nobel, mas para as matemáticas. Ao passo que, você se perguntará talvez por que Nobel nunca quis criar um Prêmio Nobel de matemática. A resposta é simples: sua esposa saiu com um matemático.
As coisas permaneceram assim por muitos anos até que um matemático americano chamado Anthony Phillips publicou em 1967 na Scientific American uma primeira versão desse retorno, extremamente complicada. A segunda foi inventada no início dos anos sessenta por um matemático francês (cego) Bernard Morin. Fui o primeiro a desenhar essa sequência de transformações que, já disse, será o objeto de um próximo artigo no site, bastante extenso, aliás. De qualquer forma, isso nos leva a uma conclusão secundária. As superfícies podem ser representadas em
formas poliédricas . Um cubo ou um tetraedro podem ser considerados como representações poliédricas da esfera, na medida em que esses objetos têm a mesma
topologia
. Sobre esse ponto, consulte minha BD Le Topologicon. Além disso, compreende-se que se é possível virar uma esfera, também é possível virar um cubo. A transformação inventada por Bernard Morin (que ilustrei no artigo de janeiro de 1979 da Pour la science) passa por um
modelo central
. Existe uma simetria nessa sequência. Isso é chamado de "modelo central com quatro orelhas". Novamente, antecipo. Mas assim como a esfera pode se prestar a representações poliédricas, o mesmo acontece com as etapas sucessivas dessas transformações. O objeto que você vê girando na minha página inicial é, assim, a versão poliédrica do modelo central do retorno da esfera, um modelo que inventei há cerca de uma década. O interesse desses modelos poliédricos é que podem ser construídos com superfícies planas. Eles podem até ser organizados com cortes. Dê uma olhada no desenho abaixo (em passagem, agradeço ao meu amigo Christophe Tardy, que produziu os elementos corretamente cotados).
Este é um desenho que sairia da sua impressora em pequeno formato, inutilizável.
Para imprimir esta figura em uma folha A4
Você precisa fazer quatro cópias em papel A4 pesado, duas folhas de uma cor, duas de outra cor
Este é um corte do qual você tem uma visão geral. Mas para imprimir, é melhor que você vá para a página
corte
. Imprima-a. Em seguida, com esse exemplar impresso no papel normal da sua impressora, vá a uma copiadora e faça quatro cópias idênticas deste desenho, duas em folhas de cartolina verde e duas em folhas amarelas. Você será capaz, com este corte, de construir o modelo central do retorno do cubo.
Você tem, nestes elementos cortados, pares de letras: a, b, c, d, e, f etc. Basta fazer os dobras levando as mesmas letras em coincidência, e depois montar essas faces com fita adesiva transparente. Os desenhos que se seguem mostram como montar um dos quatro elementos. Aqui está primeiro como você deve começar a dobra de um dos quatro elementos:
Aqui estão dois desses quatro elementos, vistos de ângulos diferentes.
Esses elementos se encaixam para formar um objeto com simetria de ordem quatro ou alternando elementos verdes e amarelos. Para ver isso em 3D, dê uma olhada nas realizações do Sr. Tardy, em "realidade virtual". O modelo central totalmente montado também é produzido em "vrml" nesta seção. Aqui está esse objeto, visto de diferentes ângulos:
Não se pode dizer que uma vista corresponda ao "topo" e outra ao "fundo", pois essas denominações seriam totalmente arbitrárias. Na vista da esquerda, o ponto "central" corresponde ao "ponto duplo" (onde duas folhas se cruzam) do modelo central de Morin, enquanto o ponto central da direita equivale ao "ponto quádruplo" do mesmo modelo (onde quatro folhas se cruzam). Eu tive que orientar cuidadosamente o objeto, para que a figura da esquerda não evocasse uma cruz gamada. Caso contrário, arquitetonicamente falando, essa representação poliédrica do modelo central de Morin poderia ter constituído um excelente projeto de casa da cultura Nacional Socialista.
Última vista:
Última observação: não existe uma boa representação poliédrica do retorno da esfera (ou seja, o retorno do cubo). Por "boa", deve-se entender uma sequência de modelos suficientemente explícitos que possam ser montados em forma de cortes de maneira relativamente fácil, como o modelo acima. Uma pesquisa seria necessária nesse sentido, que está ao alcance de qualquer pessoa, inclusive de um não-matemático, de um artista plástico, por exemplo. Há mais de vinte anos, fui professor de escultura na Escola de Belas Artes de Aix-en-Provence, na época em que ainda era dirigida pelo meu excelente amigo Jacques Boullier. Foi nesses locais que nasceu a primeira representação meridional da superfície de Boy com elipses, chave para a construção da primeira equação implícita por Apéry. Devo dizer que, na época, fiquei sempre surpreso com a imaginação geométrica dos alunos de arte, que superava muitas vezes a dos próprios geômetras.
Contador inicializado em 31 de dezembro de 2001. Número de conexões
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