Retorção da esfera em matemática

A Inversão da Esfera

7 de dezembro de 2004

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Introdução.

Consideraremos, no que se segue, superfícies fechadas, como a esfera, o toro e algumas outras. São superfícies no sentido em que o entende o homem comum, ou seja, objetos de duas dimensões que são representados em um espaço euclidiano tridimensional, R³, que é o nosso espaço mental de representação. Essas superfícies podem ser objeto de vários tipos de representação. Se elas não se cortam a si mesmas, diremos que estão

imersas

(no R³). Se se cortam, falaremos então de

imersões

e esse corte se traduzirá pela presença de um

conjunto de auto-interseção

(self-intersection).

Nos nossos mergulhos, suporemos que o plano tangente varia continuamente e que a superfície é regular, sem singularidades como poderia ser, por exemplo, o vértice de um cone. Nossas superfícies serão

regulares.

No caso das imersões, exigiremos que ao longo das linhas de auto-interseção os dois planos tangentes às folhas que se cruzam sejam distintos.

O mundo da geometria, tal como o concebe o matemático, é bastante diferente do mundo físico. O fato de as superfícies poderem se atravessar mutuamente não o incomoda em nada. O mundo físico não permite esse tipo de coisa. Mas isso torna-se possível no mundo metafísico. Assim, na Bíblia lê-se que, quando os mortos ressuscitarem, o farão sob a forma de "corpos gloriosos". Eles poderão então passar por qualquer coisa e, em princípio, serão capazes de se atravessar a si mesmos. Assim, quando chegar o tempo do Julgamento Final, se você andar por Roma sob a forma de corpo glorioso, se estiver perdido e procurar a Piazza Navona, poderá ser tentado a pedir direções a outro ser ressuscitado, com aparência idêntica à sua. Suponha que a pessoa que você interroga esteja se dirigindo na direção oposta a essa praça. No espaço físico comum, para indicar o caminho correto, ela teria de girar sobre si mesma para apontar o dedo nessa direção. Mas se ela caminhar sob a forma de corpo glorioso, essa rotação já não será necessária. Poderá apontar o dedo indicador para o umbigo e atravessar-se a si mesmo. Quando a mão reaparecer, emergindo pelas costas, não lhe restará mais do que dizer: "é por aqui". Ao enfiar o braço através do ventre, criará na sua envoltória corporal um conjunto de auto-interseção formado por dois círculos, que desaparecerá quando retornar à sua configuração normal.

Se um ser humano fechar a boca, colocar uma pinça no nariz para obstruí-lo e ignorarmos seus outros orifícios naturais, sua envoltória corporal adotará então a topologia da esfera S². Imaginemos um ser ressuscitado na forma de corpo glorioso cujos orifícios naturais estejam assim obstruídos. Sabemos que ele pode se atravessar a si mesmo, ou seja, sua envoltória corporal pode passar de uma situação de mergulho para uma situação de imersão. Um dos problemas metafísicos que então se colocou foi saber se um ser ressuscitado na forma de corpo glorioso poderia se virar sem criar dobras.

Uma pequena observação à passagem. Os mágicos sabem usar "círculos mágicos" que podem se penetrar "de forma mágica". Poderíamos imaginar representar superfícies usando uma espécie de "grade mágica" de modo que as duas folhas, representadas aqui em preto e em rosa, pudessem se atravessar sem dificuldade.

A grade mágica

De qualquer forma, é preciso admitir que muitas vezes não há muita diferença entre matemática e magia. Há vinte anos, criei uma tirinha: o Topologicon. Está agora esgotado e intraduzível, exceto como objeto de coleção. Em uma das páginas podia-se ver isto:

É realmente lamentável que as editoras Belin tenham decidido abandonar essa coleção. É preciso dizer que, com um custo de produção de pouco mais de um euro, vender os volumes por 13 euros (mais o frete), à venda por correspondência, além de deixar uma margem de lucro de 12 euros, ou seja, um lucro superior a 92% do preço de venda, não corresponde a uma estratégia comercial muito evidente, especialmente para preto e branco.

Considere uma esfera S² mergulhada em R³. Supomos que sua superfície externa seja cinza e que seu interior tenha uma cor rosa antigo. Podemos apertar dois pontos antípodas, que chamaremos arbitrariamente de "pólo norte" e "pólo sul", até colocá-los em contato em um único ponto. Podemos fazer isso, por exemplo, com um donut. Quando se trata de um donut matemático (não sabemos se os donuts ressuscitam ou não na forma de corpo glorioso), as duas regiões polares, após terem estado em contato em um ponto, podem se atravessar mutuamente ao longo de uma curva de auto-interseção que afeta a forma de um círculo. Antecipando, diremos que esta superfície sofreu uma catástrofe do tipo Do.

Pode-se então ser tentado a tentar virar o donut, a esfera, continuando a operação. Mas então um franzido se formará, que degenerará em um feixe desagradável, ou mais exatamente uma superfície de rebatimento (figura d).

No final dos anos cinquenta, a grave questão de saber se era possível virar donuts metafísicos sem criar dobras permanecia sem solução. Na verdade, todos pensavam que era estritamente impossível. Mas em 1957 um matemático, Stephen Smale (que recebeu a Medalha Fields, mas por um trabalho completamente diferente), demonstrou que as diferentes imersões da esfera S² em R³ constituíam um único conjunto e que era sempre possível encontrar uma sequência de deformações contínuas de imersões (chamadas também homotopias regulares) que permitissem passar de uma situação para outra. O corolário era que devíamos poder passar, por meio de uma sequência contínua de imersões, do mergulho padrão da esfera S² para o mergulho antipodal. Dito de forma mais simples: devíamos poder virar uma esfera sem criar dobras, desde que se permitisse que ela se virasse sozinha.

O orientador de Smale chamava-se Raoul Bott. Este perguntou a seu aluno como deveria proceder e Smale respondeu que não tinha a menor ideia, mas que seu teorema era totalmente invulnerável. Smale não via nada no espaço, mas não se importava (como acontece com muitos geômetras). E, se for dito com franqueza, após demonstrar seu teorema, ele se importava profundamente com a forma como se poderia concretizar a coisa e logo se interessou por outro assunto, deixando seus colegas matemáticos na maior perplexidade. Acho que não é muito simpático criar problemas assim e depois deixar as pessoas se virarem sozinhas para encontrar a solução, dez anos depois.

É preciso dizer que é bastante difícil imaginar imersões na cabeça. No entanto, conhecemos superfícies que só podem ser representadas em R³ dessa forma. A garrafa de Klein, por exemplo.

Garrafa de Klein

Representamos aqui com um sistema de malha-sistema de coordenadas constituído por dois conjuntos de curvas fechadas, como no toro. Assim, podemos malhar uma garrafa de Klein sem criar singularidades na malha. Mas, como se pode ver, essa superfície necessariamente se atravessa ao longo de uma curva fechada, um círculo. Portanto, não podemos mergulhar uma garrafa de Klein em R³. Tentei, não deu certo. Só podemos imergi-la. Graças aos meus talentos de desenhista, você consegue ter uma ideia aproximada desse objeto. Mas, quando se tratou de virar uma esfera, foi necessário considerar configurações muito mais complicadas. A forma de representá-las não era das mais convenientes. Alguns usavam massa de modelar. Quando os víamos discutir entre si em congressos, geralmente se afastavam e abriam diante de seus colegas caixas de sapatos ou caixas de chapéu contendo objetos mais ou menos monstruosos. O desenho acima evoca a maneira mais conveniente de construir e manipular esses objetos: com o que chamamos de "arame de cobre", uma liga bastante flexível para poder dobrá-lo sem dificuldade, mas que ainda conserva sua elasticidade. A melhor forma de proceder consiste então em materializar os pontos de encontro das linhas (recomendamos hastes de 2 mm de diâmetro) fixando-as com arames de ligação. A vantagem é que elas podem ser deslizadas, pelo menos até que se considere que o objeto adquiriu uma forma definitiva. Então, pode-se eliminar todo deslizamento com uma gota de cola.

Na prática, é bastante raro precisar usar garrafas de Klein. Abaixo, uma fotografia de uma garrafa de Klein que uso para meus próprios fins.

Esses objetos, desde que se tenha algum senso de forma, são bastante belos. Eu fiz construir vários quando era professor de escultura na Escola de Belas Artes de Aix-en-Provence. Mas antes de adotar essa técnica houve muitas tentativas em que misturávamos arame maleável e papelão, resultando em resultados de estética bastante discutível. Lembro-me de uma vez ter precisado pegar o trem em Marselha para levar a Paris ao meu querido amigo matemático André Lichnérowicz várias superfícies que havia conseguido representar de forma suficientemente clara. Havia, em particular, a superfície de Boy, na qual havia colocado uma cartografia centrada em um único pólo. Isso resultou em um objeto absolutamente magnífico, que foi exposto durante vinte anos na sala

do Palácio da Descoberta em Paris. Mas há um ano a direção do Museu considerou que essa superfície estava fora de moda e ela agora repousa em um sótão ou em uma adega. Espero que não tenha sido esmagada no transporte. Tudo isso para dizer que agora você não poderá ver uma superfície de Boy em lugar algum, exceto em livros, ou em um CD-ROM no qual consignei minhas 18 tiras científicas em formato PDF, incluindo o Topologicon.

Como adquirir este CD-ROM.

Mas voltemos a esta viagem que empreendi, de Marselha a Paris. Já estava carregado com duas malas e decidi levar três modelos. A única solução foi pendurá-los ao redor do meu pescoço. Mas quando atravessava o saguão da estação e vi como as pessoas me olhavam, entendi que imaginavam estar lidando com um louco que obtivera permissão de saída de seu asilo. Teria sido totalmente inútil tentar explicar o contrário e tive de suportar esse calvário com toda a dignidade possível.

O que é divertido é que pessoas que constroem coisas assim são bastante raras. Havia na América um matemático chamado Charles Pugh, que trabalhava no departamento de matemática da Universidade de Berkeley. Terei oportunidade de falar dele mais tarde. Pugh era absolutamente genial com grades para galinhas, mas pessoalmente sempre prefiri a técnica do arame de cobre.

Voltemos à história da inversão da esfera. O primeiro a conseguir resolver esse problema foi o geômetra Anthony Phillips. Ele publicou seu trabalho, ou seja, uma sequência de desenhos, em um número da Scientific American, em 1967. Existem várias formas de virar uma esfera. Uma delas consiste em levar cada ponto da esfera à coincidência com seu antípoda. Ela então assume a forma de uma superfície de Boy. Sempre sonhei em encontrar um patrocinador para construir uma magnífica escultura que representasse um globo terrestre dobrado na forma de superfície de Boy. Como não pude construir o objeto, fiz a ilustração da capa do Topologicon:

O globo terrestre colado sobre si mesmo segundo uma superfície de Boy

Nessa configuração, se se cavar um buraco no pólo norte, emergirá imediatamente do outro lado, no pólo sul, já que esses dois pontos são antípodas. Um francês que cavar um buraco em sua cave se encontraria na Nova Zelândia, etc.

A versão encontrada por Anthony Phillips consiste efetivamente em descrever como a esfera se configura na forma de um revestimento de duas folhas da superfície de Boy, que é, é claro, uma superfície unilátera. Se dispuséssemos de um produto mágico,

a travessina,

que desse às superfícies o dom de poderem se atravessar a si mesmas, bastaria ligar cada ponto ao seu antípoda por um fio, que se faria encolher até se tornar de comprimento nulo. Se não pudermos representar facilmente essa transformação, podemos, no entanto, nos concentrar em uma parte da esfera, por exemplo, seu entorno equatorial. É isso que foi feito nas animações seguintes. Essa superfície, dotada de dois bordos circulares, lembra uma roda de bicicleta. Representamos três raios, ligados a pontos diametralmente opostos. Ao fazer tender o comprimento desses raios a zero, essa faixa bilateral se configurará como um revestimento de duas folhas de uma fita de Möbius com três meias-voltas. Abaixo, duas animações um pouco grosseiras. A da esquerda é lenta e a da direita é rápida.

Essa fita de Möbius com três meias-voltas é o "entorno equatorial" da superfície de Boy. É sobre essa faixa que se enrola o equador da esfera.

"O equador" da superfície de Boy

Quanto aos dois polos da esfera, eles coincidem no único pólo da superfície. Essa superfície, como a garrafa de Klein, não pode ser mergulhada em R³. Só pode ser representada como uma imersão. Ela então possui um conjunto de auto-interseção com a forma de uma hélice de três pás, cujas extremidades são visíveis, lembrando os "tímpanos" de três "orelhas". Nas páginas seguintes, encontrará alguns elementos para melhor "ler" essa superfície. Em caso de dificuldade, procure um Topologicon.

Em cima e à esquerda, uma superfície de Boy. Como essa superfície é unilátera, não podemos usar duas cores. Em

, o conjunto de auto-interseção trifoliado evoca as pás de uma hélice em

. A curva se corta em um ponto triplo T. Os desenhos seguintes estão aqui para ajudar o leitor a se orientar.

Tudo é bom para tentar ilustrar a estrutura de uma superfície: faixas, montagem com peças adicionadas. Vê-se que um escultor encontraria seu prazer com esse objeto realmente fascinante. Uma palavra sobre sua história. Em 1901, um estudante do grande matemático alemão Hilbert, Werner Boy, mencionou diante dele uma superfície que ninguém havia pensado antes. As férias estavam quase chegando. Hilbert disse a seu estudante:

Esse problema me parece interessante. Se quiser, volte me ver na volta, vamos discuti-lo.

As férias passaram, mas na volta Boy não reapareceu. Após dois meses, Hilbert tentou encontrá-lo. Outros estudantes lhe informaram o endereço, e ele foi até lá. Mas a empregada disse que o jovem Werner Boy havia devolvido as chaves antes do verão e que não havia mais retornado. Todas as buscas para encontrá-lo foram infrutíferas, assim como as para localizar membros de sua família. Ele simplesmente desapareceu. Se você for à Alemanha, não espere visitar a tumba desse ilustre inventor: ela não existe.

Na última figura, embaixo e à direita, representamos, em branco, a superfície de Boy propriamente dita e, com cores cinza e rosa, os dois lados da esfera que a reveste. Os pontos A e A' são antípodas nesta esfera. Compreende-se, portanto, como esse revestimento de duas folhas da superfície de Boy pode ser usado para virar a esfera. Suponha que dispuséssemos da sequência de transformações, da homotopia regular, que permitiu transformar uma esfera rosa por fora, cinza por dentro, nesta figura embaixo e à direita. Bastaria então trocar as duas folhas (fazendo-as se atravessarem mutuamente), especialmente os pontos A e A', e realizar as mesmas transformações, mas em sentido inverso, para chegar ao mergulho antipodal dessa esfera, agora exibindo sua cor cinza por fora.

Na mesma lógica, podemos esperar que um toro possa se configurar como um revestimento de duas folhas de uma... garrafa de Klein. Eis como se parece esse revestimento.

Revestimento de duas folhas da garrafa de Klein

Se conseguirmos configurar um toro dessa forma, basta novamente trocar as folhas adjacentes, localizadas de ambos os lados da garrafa de Klein (não representada aqui), e realizar as operações em sentido inverso para obter o toro virado. Esse trabalho foi apresentado no número de janeiro de 1979 da revista Pour la Science, em artigo assinado por B. Morin e J.P. Petit. Encarreguei-me da parte desenhos e Morin do texto. Embora tenha citado muitas pessoas nesse artigo, esqueceu-me ao passar, como esqueceu de mencionar que eu era o inventor dessa parte do trabalho, apresentada nas páginas 46 e 47. Mas são coisas que acontecem quando se colabora estreitamente com um colega. Você sabe como é: estamos tão acostumados à sua presença há anos e tão preocupados em não esquecer ninguém que acabamos por esquecê-lo, como se fizesse parte do mobiliário. Para mais detalhes, esse trabalho foi publicado sob meu nome nos Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris em 20 de novembro de 1978, com o título "Retornamento não-trivial do toro", o artigo tendo sido apresentado pelo acadêmico André Lichnérowicz.

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