A Inversão da Esfera
8
dezembro
2004
página 2
Permutação dos pontos cuspídeos de uma crosscap
Isto vai constituir um pequeno intervalo,
no estilo "para que serve a inversão da esfera?". Aqui: para permutar os dois pontos cuspídeos de uma crosscap,
o que parecia a priori impossível. Inventei este pequeno truque
há uma boa dúzia de anos. Nunca foi publicado.
Mas onde publicar algo assim? Não se sabe bem. Não se trata
de um "resultado importante em matemática", mas é
um exercício bastante atraente. No que se segue,
usaremos representações poliédricas. À direita, a crosscap
"redonda" e à esquerda uma de suas múltiplas representações
poliédricas possíveis.
A crosscap com uma de suas múltiplas representações
poliédricas.
Na figura abaixo e à direita,
organizamos para acomodar os dois pontos cuspídeos C1 e C2 localizados
nas extremidades de sua linha de auto-interseção numa região que
podemos considerar como uma porção de esfera. Sabemos que podemos
inverter uma esfera. Logo, podemos submeter este objeto ao mesmo tratamento,
sem nos preocupar com os diferentes estágios dessa transformação. Em termos poliédricos, isso consistirá
em inverter o cubo.
Tudo o que sabemos é que, no final da operação, teremos dois tipos de invaginações que se apresentam
como o que veria um observador situado "no interior" da crosscap inicial (expressão inadequada, já que esta superfície
é unilátera).
Após a inversão, do cubo à esquerda,
da esfera à direita
A representação poliédrica
é, no entanto, bastante conveniente para não perder o fio dessas
operações. Basta agora enfiar dois dedos nessas invaginações e puxar tudo para fora:
Puxar o ponto cuspídeo C2 "para fora"
Se isso lhe divertir, poderá construir
os modelos poliédricos com cartolina. Ou talvez alguém corajoso
construa esses modelos em vrml para que possamos manipulá-los.
Ainda resta finalizar a operação.
Passagem para uma imersão idêntica à inicial,
com os pontos cuspídeos permutados.
Prometi, um dia, elaborar um dossier
contando minhas experiências com o psicanalista Jacques Lacan. A crosscap serviu-lhe para modelar o "fantasma fundamental". Ele se concentrara no "ponto cuspídeo central" e ignorara simplesmente o segundo. Nessa região central, Lacan localizou o "falo linguístico" ou "objeto pequeno a". Contarei o resto noutra ocasião. O fato é que Lacan não previu que esses pontos pudessem ser "papai - mutados".
Na verdade, quando ele me falou dessa modelagem linguística - geométrica - psicanalítica, franzi as sobrancelhas imaginando que, nessa crosscap, os dois pontos cuspídeos pudessem desempenhar papéis diferentes, e, na fração de segundo seguinte, simplesmente me perguntando, encontrei a maneira de trocá-los. Lacan ficou bastante surpreso, lembro-me. Seu fantasma fundamental tinha dois falos linguísticos em vez de um só. Toda a sua teoria havia sido articulada em torno desse objeto. Mas imediatamente lhe propus uma solução alternativa, situando o falo linguístico no polo (único) de uma superfície de Boy. Assim, tudo voltou ao normal, a sua grande satisfação.
Este episódio ocorreu pouco tempo antes de sua morte. A julgar pelo que pude observar, esse redimensionamento psicanalítico-geométrico
ainda não se difundiu, aparentemente, entre a comunidade dos psicanalistas lacanianos.
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