O Retorno da Esfera
8
dezembro
2004
página 4
A versão de Bernard Morin
Para baixar a versão pdf do artigo de B. Morin e J.P. Petit, publicado em Pour la Science em 1979
O retorno da esfera
(2,8 MB)
Partimos de uma esfera que apresenta sua face cinza voltada para fora e sua face rosa para dentro.
Em seguida, trazemos seus polos em contato. Depois, as camadas se penetram mutuamente segundo uma "catástrofe do cotovelo". Surge uma curva fechada de auto-interseção. Na parte inferior direita, três meias-seções permitem compreender melhor a configuração obtida. Neste estágio, a esfera parece um tipo de "balsa inflável" circular, com um "barril" e um "piso" de dupla parede.
Primeira etapa: uma "catástrofe do cotovelo". Criação de uma curva fechada de auto-interseção.
Segunda operação: nova catástrofe do cotovelo, criação de uma segunda curva fechada.
Segunda criação de uma curva fechada de auto-interseção.
Para isso, a "balsa inflável" se dobrou com um movimento de torção, permitindo trazer duas partes do "barril", diametralmente opostas, em contato. A imagem seguinte é o resultado de duas catástrofes que levaram à criação de "fatias de laranja".
Após a criação de duas "fatias de laranja"
À esquerda, realizamos cortes no modelo. No centro, a forma como os dois cilindros, cuja seção, localmente, afeta a forma da letra grega "gama", se penetraram mutuamente. Lembramos que a catástrofe de criação das "fatias de laranja" se realizava cortando um "tronco" com dois planos formando um diedro. Cada uma das estruturas cilíndricas cuja seção é em "gama" possui tanto a seção arredondada quanto o diedro. Observe atentamente a figura i. Em j, desenhamos todo o conjunto de auto-interseção. A porção de curva fechada maior provém da primeira "catástrofe do cotovelo", que transformou a esfera em "balsa inflável". Após a criação das duas fatias de laranja, obtém-se um conjunto mais complexo, do qual j é um subconjunto. Em j, vê-se que essa estrutura pode ser comparada ao encaixe de duas "fatias de laranja" sobre duas arestas não adjacentes de um tetraedro.
Tudo isso será um dia muito mais fácil de compreender quando eu puder produzir animações. Isso não me apresenta nenhum problema técnico a priori. É apenas uma questão de tempo. Poucas pessoas conseguem não apenas visualizar no espaço, ou seja, ler esse código que utiliza linhas, traços, cores, sombras e reflexos, mas também encadear mentalmente transformações, imaginando o movimento sugerido. Espero ter um dia o tempo para realizar todas essas coisas. Observamos, de passagem, que poderíamos usar modelos poliédricos, como fiz para mostrar como transformar uma Crosscap em Superfície de Boy. É para isso que está o futuro. Mas esses modelos precisam ser inventados. Mais adiante, encontrará a versão poliédrica otimizada do modelo central dessa transformação imaginada por Bernard Morin (lembramos que ele é cego!), com a forma de construí-lo sozinho a partir de um recorte.
Por que não levei essas ideias mais longe? Diria: por falta de "perspectivas". Não há revistas de matemática que aceitem publicar trabalhos desse tipo. Conseguimos fazê-lo entre 1975 e 1978 por meio de algumas notas nos Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, que certamente não foram lidas por muita gente. Mas foi porque o acadêmico André Lichnérowicz se interessava pessoalmente por esses trabalhos. Hoje ele faleceu. Como esses trabalhos já estavam completamente concluídos desde 1975, teria sido desejável produzir um filme de animação a partir dos meus desenhos. Tendo trabalhado na animação, eu estava plenamente capacitado para coordenar uma empresa desse tipo. Mas foi impossível obter financiamento do CNRS, e foi finalmente o matemático americano Nelson Max, inspirando-se em maquetes construídas por seu colega Charles Pugh (da mesma versão do retorno da esfera), e utilizando um poderoso computador, que conseguiu produzir o primeiro filme. Mas isso não é nem a primeira nem a última vez que franceses, sem receber eco algum de seus esforços, são assim superados por colegas estrangeiros mais bem organizados e melhor apoiados.
Passemos à terceira fase, a mais difícil de compreender.
Preparação de duas catástrofes "do calção"
Na figura k, distingue-se bem os dois extremos das "pernas do calção", cujo detalhe aparece em primeiro plano em k'. A seta branca indica a passagem "entre as pernas". Essa transformação é realmente difícil de compreender. Adicionei o desenho m para tentar ser melhor compreendido. Em l, representei com linhas tracejadas a curva de auto-interseção, que aparece inteira em l'. Uma passagem (a que é percorrida pela seta branca) vai se fechar. Esse movimento de fechamento ocorre com o aumento de uma parte da curva de interseção, em dois pontos. Esses trechos da curva vão se tocar, cada um sobre uma das linhas pertencentes às "fatias de laranja". Quando o contato ocorrer, a cirurgia se realizará. A dificuldade reside no fato de que, após ter visto as quatro catástrofes elementares na página anterior, é necessário ser capaz de transpô-las sob todos os ângulos, girando o pescoço, se necessário. Em n, representamos o momento crítico em que a cirurgia se opera (a "situação média" da transformação) e em que o modo de ligação dos trechos da curva será modificado. Sabe-se que essa catástrofe "do calção" fecha uma passagem e abre outra. A passagem inicial é indicada pela seta branca. Mas existe outra que seria visível sob o mesmo ângulo se girássemos o modelo 180° em torno de um eixo vertical. Essas setas formam uma só. Antes que essas catástrofes ocorram, ainda é possível circular nessa "balsa inflável dobrada". Quando essas catástrofes tiverem efeito, essa passagem não será mais possível. Em vez disso, duas outras passagens se criarão. Mas onde? Quais partes do espaço estão envolvidas? Essas passagens colocarão o interior das "fatias de laranja" em comunicação com o exterior. Em l', você as vê. Passemos à etapa seguinte.
Fechamento da passagem. Rumo a uma dupla situação crítica
Em o, representamos as duas catástrofes "do calção" em dois estágios diferentes. Um dos caminhos está completamente fechado. Estamos em situação crítica, imediatamente antes de os arcos da curva mudarem seu modo de ligação. À direita (detalhe na figura o') o caminho está apenas começando a se fechar. Assim, a aparência da curva de auto-interseção o" é diferente à direita e à esquerda. Nas figuras p, p' e p" a criticidade (situação "média" da transformação) é atingida dos dois lados. Na folha seguinte, as cirurgias já tiveram efeito. Os tubos que se iniciavam na figura p", conectando as "fatias de laranja" com o exterior, agora estão formados:
As duas "catástrofes do calção" tiveram efeito. As passagens (setas brancas) estão abertas.
As coisas agora continuarão a se desenvolver em trav...