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(positiva) Curvatura.****
Quando traçamos um triângulo, com nossa fita adesiva, em um plano, a soma dos valores dos ângulos é de 180°. Trata-se de uma superfície euclidiana. Diremos que ela não contém nenhuma curvatura. Ela é verdadeiramente uma superfície plana. A soma dos ângulos do nosso triângulo é a soma euclidiana. Quando traçamos o triângulo em nosso cone, nosso "posicone", e o vértice S estava fora, a soma ainda era de 180°. Ao contrário, quando o vértice estava dentro, a soma era de 180° mais o ângulo q (o ângulo de corte que pudemos realizar para construir nosso posicone, ver figura (8)).
Este vértice é um ponto particular da superfície, um ponto cônico, e diremos que ele contém uma certa curvatura (positiva) concentrada. É um ponto de curvatura concentrada (positiva).
Agora podemos fazer duas cortes, correspondentes aos ângulos q1 e q2. Ver figura (13). Obtemos então uma superfície estranha possuindo dois pontos cônicos S1 e S2. Ver figura (14).
(13)
(14)
Agora você pode traçar tantos triângulos geodésicos quanto quiser, correspondendo a diferentes casos.
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Se eles não contêm nenhum vértice cônico, a soma dos ângulos é de 180°.
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Se eles contêm o vértice S1, a soma é de 180° mais q1.
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Se eles contêm os dois vértices, q1 e q2, a soma é de 180° + q1 + q2
(15)
Imagine agora que você possa fabricar um grande número de pequenos posicones e colá-los juntos, como indicado na figura (16). Cada pequeno posicone corresponde a um ângulo elementar Dq. Você pode dispor esses pequenos cones de forma regular. Quero dizer: a distância entre um vértice e os vértices dos pequenos cones vizinhos seria quase constante em todos os lugares.
(16)
Se seus pequenos cones ficarem cada vez menores, bem como seu ângulo elementar associado Dq, você construirá uma porção de superfície regular com densidade de curvatura constante.
Uma esfera é uma superfície com densidade de curvatura local constante. Em outras palavras, diz-se que a esfera é uma superfície com curvatura constante.
Se você dispor seus pequenos cones de forma diferente, você pode construir uma superfície com densidade de curvatura local variável. Por exemplo, um ovo. O ovo de uma galinha é uma superfície com densidade de curvatura local variável. Mas uma bola de tênis de mesa é uma superfície com densidade de curvatura constante. É assim que a galinha reconhece seu ovo e faz a diferença com a bola de tênis de mesa. Ela traça geodésicas com fita adesiva, etc...
Na realidade, a galinha não desenha fisicamente geodésicas no objeto. Ela faz isso mentalmente.
(17)
Na relatividade geral, identificamos a densidade de massa r com a curvatura local.
Claro, o terreno da relatividade geral não é uma superfície de 2 dimensões. Você pode imaginar uma hipersuperfície de 3 dimensões. Você pode imaginar uma hipersfera de 3 dimensões. Mas quem pode imaginar uma hipersuperfície de 4 dimensões?
Aliás, a curvatura de 4 dimensões da hipersuperfície de 4 dimensões chamada "universo" possui características especiais que não vamos explorar aqui. Isso mostra que os modelos didáticos têm seus limites. Mas eles são bons para estimular a imaginação e abrir a mente para mundos um pouco diferentes.