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**Imagem didática de um corpo celeste **(estrela, planeta, ovo denso)
** **Uma estrela como o Sol é uma concentração de massa. Ao redor: o vazio, ou uma porção de espaço que é "quase vazio", pois contém gás muito rarefeito e fótons. Em 2D, a imagem didática correspondente é um cone obtuso (posi):
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Você pode realizá-la com dois componentes. Uma porção de esfera e uma porção de cone (posi), coladas juntas. A porção de esfera é uma superfície com curvatura constante. A porção do cone é uma superfície plana, uma superfície com curvatura local nula. Este último exemplo é uma superfície euclidiana. A porção da esfera é uma superfície não euclidiana (uma superfície riemanniana).
Esta é a imagem didática em 2D de um objeto com densidade constante, cercado de vazio.
Como fixar os dois elementos juntos para garantir a continuidade do plano tangente? É simples. Sua porção de cone vem de um cone cuja seção correspondia a um ângulo q. Sua porção de esfera é suposta ser construída com mini-cones (posi) elementares, de forma que contenha uma certa "quantidade de curvatura angular" q. Se os dois ângulos forem iguais, o plano tangente será contínuo.
Mas como medir a quantidade de curvatura contida em uma porção dada de uma esfera?
Curvatura total.
Podemos construir uma superfície unindo posicones elementares. Podemos organizá-la para obter uma superfície com densidade de curvatura constante. Assim, sabemos que a superfície é uma porção de esfera. Se adicionarmos cada vez mais cones (posi) elementares, a esfera se tornará completa. Ela contém uma certa quantidade de curvatura angular. Todas as esferas contêm a mesma quantidade. A curvatura angular total de uma bola de tênis de mesa e a curvatura angular total da Terra são iguais, embora tenham pesos muito diferentes.
Por sinal, a curvatura total de um ovo é a mesma, pois eles têm a mesma topologia. Em princípio, as galinhas produzem ovos com topologia esférica. Pessoalmente, nunca vi um ovo com topologia toroidal. Isso corresponderia a um serpente estranha, sem cabeça nem cauda, ou algo assim.
Voltemos às bolas de tênis de mesa, esferas normais. Se esta superfície tiver densidade angular local constante, isso significa que a quantidade de curvatura angular (a soma dos ângulos elementares Dq) será proporcional à área. Veja a figura 19. Esta área pode ser limitada por qualquer tipo de borda. Mas podemos usar as geodésicas da esfera. Chame S da área da esfera e s da área cinza, dentro do triângulo.
(19)
Acima, vimos que o desvio (positivo) em relação à soma euclidiana (180°), para um triângulo desenhado em uma superfície, depende do número de vértices de cone localizados dentro. A soma era 180° mais todos os ângulos correspondentes a esses vértices fechados.
Reciprocamente, se eu medir o desvio em relação à soma euclidiana, posso medir a quantidade de curvatura contida dentro do triângulo.
Uma geodésica de uma esfera é chamada de círculo maior da esfera. Veja a figura (20). Meridianos, equador, são círculos maiores da esfera.
(20)
Podemos cortar nossa esfera em oito pedaços de área igual. Veja a figura (21). Obtemos oito triângulos cujos ângulos são todos de 90°. O desvio em relação à soma euclidiana é, portanto, de 90°. Cada um desses triângulos contém uma curvatura angular igual a 90°. Em conclusão, a curvatura total, a curvatura angular total da esfera é 8 × 90° = 720° = 4π.
(21)
Cada triângulo cinza contém π/2.
Você gosta de superfícies curvas, geometria das superfícies riemannianas?
Se voltarmos ao nosso cone obtuso, vemos que a curvatura angular está contida dentro da borda circular, na área com densidade de curvatura constante. A lateral, a parede do cone, não é uma superfície limitada. Você pode estendê-la ao infinito se quiser. A quantidade de curvatura angular não depende do perímetro da borda, nem da área da porção da esfera. Esta última pode ser reduzida. Veja a figura (22). Mesmo reduzida a um simples ponto, ela conteria a mesma quantidade de curvatura angular. Por isso dizemos que um ponto cônico é um ponto de curvatura concentrada. Inversamente, podemos construir superfícies suaves a partir de um conjunto de pontos cônicos.
A matéria é feita de átomos. Os átomos podem ser considerados como objetos pontuais. Eles são "pontos de curvatura concentrada" no espaço tridimensional.
O ar que você respira é um meio com densidade constante. É composto por moléculas, átomos. É um conjunto de pontos de curvatura concentrada, ligados por porções euclidianas do espaço. Você o assimila a um meio com curvatura constante.
Na próxima vez que respirar, pense nisso.
(22)