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Negacones.
Vamos construir agora o que chamaremos de um "negacone". Para construir um posicone, removemos um setor de um plano. Aqui, adicionamos um, correspondente a um ângulo q:
(30)
Sobre essa superfície, podemos traçar linhas geodésicas, com nossa fita adesiva, e formar um triângulo com três delas. Se você medir a soma dos ângulos, você verá que ela é igual a 180° - q. Diremos que ela define uma concentração de curvatura negativa.
Existem objetos com curvatura negativa em sua casa. Alguns assentos, por exemplo: (30 bis)
Se tomarmos um disco, obteremos a figura (31):
(31)
Claro, se o triângulo formado pelas três geodésicas não contém o vértice S, que contém toda a curvatura angular (negativa), a soma será a da geometria euclidiana: 180°.
A sela de cavalo.
** **Você pode construir um grande número de negacones elementares
de ângulo - Dq e os montar. Você pode fazer isso para obter uma distância quase constante entre dois vértices vizinhos. Você obteria então uma superfície com densidade de curvatura negativa constante: uma sela de cavalo. Mas essa superfície nunca se fechará.
Em geral, o geômetra a chama de superfície com curvatura negativa constante. (32)
"Negacone obtuso".
Em uma seção anterior, usando uma superfície com densidade de curvatura positiva constante (uma porção de esfera) e uma porção de posicone, construímos um posicone obtuso.
De forma semelhante, podemos construir o que chamaremos de um negacone obtuso. Devemos montar uma sela de cavalo a uma porção de negacone, ao longo de seu bordo circular comum. Para garantir a continuidade do plano tangente, a curvatura (negativa) contida na sela de cavalo deve ser igual à curvatura negativa envolvida na construção do negacone.
É relativamente fácil construir a porção de negacone necessária! (33)
Nota: Assim como o posicone, o negacone pode servir como matriz de impressão. Mas é difícil ver como rolar um negacone sobre um plano plano. Por isso, é mais simples rolar o plano sobre uma matriz com curvatura negativa.
Gutenberg inventou a técnica de impressão. Um desenho em relevo é esculpido em um plano. Em seguida, coloca-se tinta nele e pressiona-se contra um plano.
Posteriormente, a matriz de impressão foi transformada em um cilindro, para impressão de jornais (máquina de impressão rotativa).
Mas ninguém, que eu saiba, utilizou a prensa cônica.
De qualquer forma, o ponto importante é colocar as duas superfícies em contato, independentemente do método. Ou você move a matriz, ou rola o papel (a superfície plana).
Como mostra a figura (34), você pode usar uma matriz cônica para imprimir algo em um plano. Alguns jornais cónicos, colocados planos. (34)
Não é definitivamente certo que ninguém usará isso algum dia. Suponha que você queira produzir vestidos, com um design especial correspondente a uma simetria cônica. Suponha que você precise produzir milhares desses vestidos. Você poderia gravar o padrão em uma matriz cônica, e depois usá-la para imprimir no tecido. O cliente poderia comprá-lo e fabricar o "vestido cônico", tendo certeza de que o padrão obtido seria correto em todos os lugares.
Na figura (35) está o que você obtém ao imprimir com uma matriz de curvatura negativa. À direita, um negacone colocado plano. (35)
Na figura (36) é mostrado como montar a sela de cavalo com a porção de negacone.
Enquanto isso, você pode se perguntar:
- Como posso medir a curvatura angular negativa contida na minha sela de cavalo?
Em algumas regiões do Texas, perto dos departamentos de matemática, quando você compra uma sela de cavalo, a curvatura angular correspondente é indicada no ticket anexado. Caso contrário, comparando o perímetro da borda, ou a área, com o valor euclidiano calculado a partir do raio desse disco de curvatura negativa, você pode deduzir a curvatura angular correspondente. Considere isso como um exercício frutífero. (36)
(37)
Agora, podemos usar nossa fita adesiva, traçar geodésicas e projetá-las em um plano, como mostrado na figura (38).
(38)
Como de costume, essa projeção plana refere-se ao nosso "mundo mental", à parede da caverna de Platão. A aparência da geodésica projetada significaria para nós que uma força repulsiva atua sobre nossos objetos de referência, por exemplo, uma força gravitacional repulsiva. Na realidade, tudo isso deveria decorrer da geometria subjacente.
Versão original (inglês)
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**Negacones.
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Let us build now what we will call a "negacone". To build a posicone, we removed a sector from a plane. Here we add one, corresponding to an angle q :
(30)
On this surface we can draw geodesic lines, with our sticky tape and make a triangle with three of them. If you measure the sum of the angles, you will see that it is 180°-q . We will say that it defines a negative curvature concentration.
There are objects with negative curvature in your home. Some seats, for example : (30 bis)
If we take a disk we get the figure (31) :
(31)
Of course, if the triangle composed by the three geodesics does not contain the summit S, which contains all the (negative) angular curvature, the sum will be the euclidean sum : 180°.
The horse saddle.
** **You can build a great number of elementary negacones
with angle - Dq and join them. You can do that in order to have an almost constant distance between two neighbour summits. Then you would build a constant negative curvature density surface : a horse saddle. But this surface will never get closed.
In general the geometer call it a *constant negative curvature surface.
*(32)
"Blunt negacone".
In a precedent section, using a constant positive curvature density surface (a portion of a sphere) and a portion of posicone we built a blunt posicone.
Similarly we can build what we will call a blunt negacone. We have to join a horse saddle to a portion of negacone, along their common circular border. In order to manage the continuity of the tangent plane the (negative) curvature contained in the horse saddle must be equal to the negative curvature involved in the negacone building.
It is relatively easy to build the required portion of a negacone !
(33)
NB : As the posicone, the negacone can be used as a printing matrix. But we can hardly see how to roll a negacone on a flat plane. It is therefore easier to roll the plane on a negative curvature matrix.
Gutemberg invented the printing technique. A design in relief is carved on a plane. Then one puts ink on it and presses it onto a plane.
Later the printing matrix was converted into a cylinder, for newspaper printing (rotative press).
But no one, as far as I know, used the conical press.
In all cases, the important point is to put the two surface into contact, whatever one does. Either you move the matrix, or you roll the paper (the plane surface).
As shown on figure (34) you can use a conical matrix to print something on a plane. Some conical newspaper, put flat.
(34)
It is not definitively sure that nobody will use that, someday. Suppose you want to produce robes, with a special design, corresponding to conical symmetry. Suppose that you have to produce thousands of robes like that. You could engrave the native design on a conical matric, then use it to print on the material,or the fabric. The customer could buy it and make the "conical" robe, being sure that the obtained patter would be good, all over.
On figure (35) is what you get if you print with a negative curvature matrix. On the right a negacone put flat.
(35)
On figure (36) it shows how to join the horse saddle to the portion of negacone.
By the way, you may ask :
- How can I measure the negative angular curvature contained in my horse saddle ?
In some places in Texas, close to mathematical departments, when you buy a horse saddle the corresponding angular curvature is indicated on the joined ticket. If not when you compare the perimeter of the border, or the area,to the euclidean value, calculated from the radius of this regative curvature disk, you can deduce the corresponding angular curvature. Consider this as a fruitfull exercise.
(36)
(37)
Now we can use ou sticky tape, draw geodesics and project it on a plane, as shown on figure (38).
(38)
As usual this plane projection refers to our "mental world", the wall of Plato's cavern. The aspect of the projected geodesic would mean for us that some repulsive force is acting on our reference objects, for example a *repulsive gravitational force *. In fact, all that should come from underlying geometry.