Geometrias conjugadas e curvatura angular

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Geometrias conjugadas.****

Agora podemos associar um posicono obtuso e um negacono obtuso. Face a face: uma porção de esfera e uma sela de cavalo, com curvatura angular oposta + q e - q. Temos uma correspondência ponto a ponto (aplicação injetiva). Na figura (39), um par de pontos conjugados foi representado.

Chamamos geometrias conjugadas duas estruturas geométricas, com uma ligação ponto a ponto, tais que as densidades locais de curvatura sejam opostas. Isso é o caso da porção da esfera e da sela de cavalo correspondente. O mesmo se aplica à porção de posicono, diante de uma porção de negacono. Suas densidades locais de curvatura angular são nulas. (39)

A curvatura positiva, no dobra F, está totalmente contida na porção da esfera. A porção de posicono é uma superfície euclidiana, que é "localmente plana". Na outra dobra F*, a dobra conjugada, toda a curvatura (negativa) angular está contida na sela de cavalo. Fora dela, a porção de negacono é "localmente plana", não contém nenhuma curvatura.

Observe que, dado um dobra, você pode construir a outra.

Relatividade Geral.

A ideia fundamental é que o conteúdo local de "matéria-energia" determina a geometria local, ela molda a hipersuperfície espaço-tempo. Observe que a palavra composta "matéria-energia", que mostra que qualquer conteúdo determina a geometria do universo: matéria* e *radiação. Em uma seção anterior, mencionamos o fato de que os fótons contribuem para (curvatura positiva). Hoje, a contribuição do fundo cósmico é desprezível. A contribuição da matéria para a geometria é dominante. Mas, no passado distante, a situação era inversa: no Modelo Padrão, quando t < 500.000 anos.

Vamos buscar algum modelo didático para compreender os conceitos básicos da relatividade geral. Vamos lidar com sistemas em estado estacionário. Considere uma superfície plana, sem nenhuma tensão interna. Podemos modificar sua geometria se introduzirmos tensões locais. Podemos introduzir tensão positiva ou negativa (tensor de tensão). Por exemplo, se aquecer uma folha plástica, criarei uma saliência (efeito de curvatura positiva)

Também posso impregnar o material com um produto que, ao secar, causará alongamento local (efeito de curvatura negativa).

Um ferreiro sabe como usar aquecimento e resfriamento para moldar uma superfície metálica, por exemplo, uma lata que sofreu um acidente.

Pegue um simples tubo metálico. Vamos aquecê-lo em um lado e resfriá-lo no outro. O que acontecerá?

(40)

As tensões curvarão o tubo, como mostrado na figura (41).

(41)

Introduzimos tensões no metal. É aí que surge o termo tensor nas matemáticas, resistência dos materiais e geometria. O especialista em resistência dos materiais falará em termos de tensor de tensão. O geômetra invocará o tensor de curvatura. O especialista em relatividade geral aplicará o princípio fundamental:

conteúdo local matéria-energia <-------> geometria local

Claro, esse conteúdo local matéria-energia determina a geometria local de uma hipersuperfície de 4 dimensões. Mas a ideia é semelhante.

Como escrever isso? Usando o que os matemáticos chamam de tensores.

É difícil ir mais longe nessa direção, sem desenvolver um curso completo de geometria diferencial. A equação famosa de Einstein é: (42)

**S **= c T

c é uma constante simples (chamada a constante de Einstein). Ela depende dos valores de outras duas constantes:

• A velocidade da luz c.

• A constante gravitacional G.

por meio de:

(42bis)

S é um tensor geométrico e carrega as características geométricas.

T é outro tensor, que descreve o conteúdo local do universo. Nesse tensor, você encontrará a densidade de matéria r e a pressão p. Elas são expressas como densidades de energia. r c² é uma densidade de energia

Mas p também é uma densidade de energia. Normalmente, expressamos a pressão em pascal por metro quadrado. Mas um pascal por metro quadrado também é um joule por metro cúbico. A pressão é basicamente uma densidade de energia volumétrica. Os campos

r (x,y,z) e p (x,y,z)

para um sistema em estado estacionário, formam a entrada do problema. A partir desses campos escalares, podemos construir o tensor T. Em seguida, a pergunta se torna:

• Qual é a geometria que corresponde a esse campo tensorial T (x,y,z), que satisfaz a equação (42)?

Dado o conteúdo local do Universo, o teórico deve construir a geometria local da hipersuperfície espaço-tempo. Mas, para quê?

Aqui, usamos a segunda hipótese fundamental:

• Todos os objetos que compõem nosso universo seguem as geodésicas da hipersuperfície espaço-tempo.

Um objeto pode ser uma estrela, um planeta, um átomo, um fóton, uma partícula elementar.

As partículas vêm da equação de campo? Nada disso. A relatividade geral as ignora completamente. Para o especialista em relatividade geral, o universo é um contínuo, nada mais. As funções de entrada r e p correspondem a uma descrição macroscópica do universo. O mesmo para a saída: o sistema de geodésicas. Para o teórico da relatividade geral, o Universo é uma hipersuperfície, nada mais. Ele diz:

• Você me deu as funções r (x,y,z) e p (x,y,z). Eu construí para você a hipersuperfície adequada, que obedece à equação de campo. Eu determinei todos os caminhos possíveis: o sistema de geodésicas. Mas eu não consigo construir partículas para você. Desculpe. Vá para outro departamento.

Em resumo: o elo entre a relatividade geral e o mundo das partículas elementares ainda aguarda seu construtor.

Mas o astrônomo dirá:

• Quem se importa? Os fótons são supostos seguir geodésicas particulares dessa hipersuperfície. Funciona: posso observar fenômenos com dispositivos ópticos. Os planetas também são supostos seguir outro tipo de geodésicas. Funciona também. Posso calcular suas trajetórias, prever a precessão do periélio de Mercúrio. Há também o efeito lente gravitacional.

Ele tem razão.

Algumas palavras sobre esse efeito gravitacional. Primeiramente, essa imagem do cone obtuso é apenas uma imagem didática. Por exemplo, ela não pode descrever as trajetórias circulares de um planeta em torno de uma estrela: (43)

Isso simplesmente mostra os limites das imagens didáticas. Mas podemos usar esse exemplo para ilustrar o efeito lente gravitacional, com duas geodésicas:

(44)

Abaixo, a representação mental euclidiana do espaço. Há um efeito de miragem. Em vez de um único objeto, o observador vê dois "miragens gravitacionais".