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Formalismo invariante por coordenadas.
Este é outro termo-chave da relatividade geral. Dissemos que o trabalho do cosmologista era equivalente ao de prever a forma de um material, devido a tensões internas. Pegue um objeto cuja topologia seja a de uma esfera. É uma esfera de metal. Aqui também poderíamos moldá-la, usando fluxos de ar quente e frio. (45)
Esses fluxos criam tensões no metal, o que modifica sua forma. Claro, como o calor se propaga no metal, se pararmos o aquecimento e o resfriamento, a temperatura da esfera voltará à uniformidade e sua aparência se tornará regular novamente. Criamos tensões no material, o que modifica sua geometria. Esse campo de tensões pode ser descrito por um objeto matemático chamado tensor T. A geometria do objeto pode ser calculada a partir de uma equação de campo, semelhante à equação de Einstein. (46) S = a T onde a é uma constante e S um tensor geométrico, que descreve as características geométricas. A melhor forma de "ler" a solução seria calcular o sistema de geodésicas. Sabemos as geodésicas da esfera, mas as geodésicas de um ovo são diferentes. Para expressar essas geodésicas, precisamos de um sistema de coordenadas. Para uma esfera, podemos usar um sistema (q,j): (47)
Nesse sistema de coordenadas específico, as geodésicas da esfera podem ser expressas em uma forma específica. Por exemplo, as curvas: q = constante (meridianos)
são geodésicas. Mas as curvas
j = constante (paralelos) não são geodésicas dessa superfície. Poderíamos definir um sistema de coordenadas semelhante na superfície "ovo". Mas uma coisa é evidente: o sistema de geodésicas existe independentemente de sua representação matemática (em um sistema de coordenadas dado, específico). O sistema de geodésicas é invariante por coordenadas. Outro exemplo é muito mais simples. Considere as geodésicas de uma folha plana. Elas são linhas retas. Podemos descrever essas linhas retas em coordenadas cartesianas: (48) Também podemos descrever essa família de geodésicas em coordenadas polares. Nesse caso, as equações são completamente diferentes, mas se referem à mesma família de linhas retas. Essas linhas retas, geodésicas da folha plana, existem independentemente das coordenadas escolhidas. Elas são objetos invariantes por coordenadas. As equações não são uma característica intrínseca. Trata-se de algo que não muda quando passamos de um sistema de coordenadas para outro? Sim: o caminho geodésico entre dois pontos M1 e M2 não muda. O mesmo acontece com qualquer linha traçada na superfície. A superfície, os pontos, a curva que os conecta existem independentemente das coordenadas escolhidas. O mesmo acontece com o comprimento do caminho entre M1 e M2. Isso também é verdadeiro para um arco geodésico, que é uma linha específica conectando dois pontos: (49) Além disso, esse caminho geodésico também é um caminho extremo (por exemplo, o mais curto, mostrado aqui). Isso também é verdadeiro para a hipersuperfície espaço-tempo, que possui seu próprio sistema de geodésicas, também invariante por coordenadas. Nessa hipersuperfície, existe um comprimento s, que pertence ao objeto e é independente do sistema de coordenadas escolhido. O ponto delicado é que o espaço e o tempo não são grandezas independentes. Não vivemos em um espaço de 3 dimensões, com pontos (x, y, z). Pertencemos a uma hipersuperfície de 4 dimensões, completamente descrita pelo seu sistema de geodésicas. Considere dois pontos distintos dessa hipersuperfície M1 e M2. Esses pontos podem ser descritos em um sistema dado de quatro coordenadas:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1) M2 ---> (x2, y2, z2, t2) Esses pontos são chamados de eventos. Podemos calcular a curva geodésica que os conecta, se existir. Esses eventos não são idênticos. Entre eles, podemos medir uma distância s, que é invariante por coordenadas. Essa distância é chamada de:
tempo próprio s
Suponha que você e eu usem uma nave espacial para viajar, de um ponto M1 a outro ponto M2, localizado no espaço-tempo. s é a medida do tempo indicada pelo nosso relógio embarcado.
Você dirá: - Mas o espaço existe, não? - Fique atento. Essa definição do que chamamos de espaço e "tempo absoluto" corresponde a uma escolha arbitrária. São apenas meios práticos de "ler" a superfície, como quando escrevemos a equação das linhas retas, em uma folha plana, em duas equações diferentes. A única coisa que não muda, que é invariante por coordenadas, é o intervalo de tempo próprio Δt entre dois eventos ligados por outro objeto invariante por coordenadas: uma linha geodésica. O chamado "tempo absoluto" t nada mais é do que um marcador cronológico um pouco arbitrário. Ao mudar seu sistema de coordenadas, você muda a leitura dos eventos. Nos artigos que apresentaremos neste site, você verá que é um problema real. De qualquer forma, você entende por que físicos e matemáticos escolheram um formalismo invariante por coordenadas, baseado em tensores. As equações na forma de tensores são invariantes por coordenadas.
Essa é a essência da relatividade geral. Mas, exceto usando equipamentos sofisticados, é difícil lhe dizer mais sobre isso.
Versão original (inglês)
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Formalismo invariante por coordenadas.
Este é outro termo-chave da relatividade geral. Dissemos que o trabalho do cosmologista era equivalente ao de prever a forma de um material, devido a tensões internas. Pegue um objeto cuja topologia seja a de uma esfera. É uma esfera de metal. Aqui também poderíamos moldá-la, usando fluxos de ar quente e frio. (45)
Esses fluxos criam tensões no metal, o que modifica sua forma. Claro, como o calor se propaga no metal, se pararmos o aquecimento e o resfriamento, a temperatura da esfera voltará à uniformidade e sua aparência se tornará regular novamente. Criamos tensões no material, o que modifica sua geometria. Esse campo de tensões pode ser descrito por um objeto matemático chamado tensor T. A geometria do objeto pode ser calculada a partir de uma equação de campo, semelhante à equação de Einstein. (46) S = a T onde a é uma constante e S um tensor geométrico, que descreve as características geométricas. A melhor forma de "ler" a solução seria calcular o sistema de geodésicas. Sabemos as geodésicas da esfera, mas as geodésicas de um ovo são diferentes. Para expressar essas geodésicas, precisamos de um sistema de coordenadas. Para uma esfera, podemos usar um sistema (q,j): (47)
Nesse sistema de coordenadas específico, as geodésicas da esfera podem ser expressas em uma forma específica. Por exemplo, as curvas: q = constante (meridianos)
são geodésicas. Mas as curvas
j = constante (paralelos) não são geodésicas dessa superfície. Poderíamos definir um sistema de coordenadas semelhante na superfície "ovo". Mas uma coisa é evidente: o sistema de geodésicas existe independentemente de sua representação matemática (em um sistema de coordenadas dado, específico). O sistema de geodésicas é invariante por coordenadas. Outro exemplo é muito mais simples. Considere as geodésicas de uma folha plana. Elas são linhas retas. Podemos descrever essas linhas retas em coordenadas cartesianas: (48) Também podemos descrever essa família de geodésicas em coordenadas polares. Nesse caso, as equações são completamente diferentes, mas se referem à mesma família de linhas retas. Essas linhas retas, geodésicas da folha plana, existem independentemente das coordenadas escolhidas. Elas são objetos invariantes por coordenadas. As equações não são uma característica intrínseca. Trata-se de algo que não muda quando passamos de um sistema de coordenadas para outro? Sim: o caminho geodésico entre dois pontos M1 e M2 não muda. O mesmo acontece com qualquer linha traçada na superfície. A superfície, os pontos, a curva que os conecta existem independentemente das coordenadas escolhidas. O mesmo acontece com o comprimento do caminho entre M1 e M2. Isso também é verdadeiro para um arco geodésico, que é uma linha específica conectando dois pontos: (49) Além disso, esse caminho geodésico também é um caminho extremo (por exemplo, o mais curto, mostrado aqui). Isso também é verdadeiro para a hipersuperfície espaço-tempo, que possui seu próprio sistema de geodésicas, também invariante por coordenadas. Nessa hipersuperfície, existe um comprimento s, que pertence ao objeto e é independente do sistema de coordenadas escolhido. O ponto delicado é que o espaço e o tempo não são grandezas independentes. Não vivemos em um espaço de 3 dimensões, com pontos (x, y, z). Pertencemos a uma hipersuperfície de 4 dimensões, completamente descrita pelo seu sistema de geodésicas. Considere dois pontos distintos dessa hipersuperfície M1 e M2. Esses pontos podem ser descritos em um sistema dado de quatro coordenadas:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1) M2 ---> (x2, y2, z2, t2) Esses pontos são chamados de eventos. Podemos calcular a curva geodésica que os conecta, se existir. Esses eventos não são idênticos. Entre eles, podemos medir uma distância s, que é invariante por coordenadas. Essa distância é chamada de:
tempo próprio s
Suponha que você e eu usem uma nave espacial para viajar, de um ponto M1 a outro ponto M2, localizado no espaço-tempo. s é a medida do tempo indicada pelo nosso relógio embarcado.
Você dirá: - Mas o espaço existe, não? - Fique atento. Essa definição do que chamamos de espaço e "tempo absoluto" corresponde a uma escolha arbitrária. São apenas meios práticos de "ler" a superfície, como quando escrevemos a equação das linhas retas, em uma folha plana, em duas equações diferentes. A única coisa que não muda, que é invariante por coordenadas, é o intervalo de tempo próprio Δt entre dois eventos ligados por outro objeto invariante por coordenadas: uma linha geodésica. O chamado "tempo absoluto" t nada mais é do que um marcador cronológico um pouco arbitrário. Ao mudar seu sistema de coordenadas, você muda a leitura dos eventos. Nos artigos que apresentaremos neste site, você verá que é um problema real. De qualquer forma, você entende por que físicos e matemáticos escolheram um formalismo invariante por coordenadas, baseado em tensores. As equações na forma de tensores são invariantes por coordenadas.
Essa é a essência da relatividade geral. Mas, exceto usando equipamentos sofisticados, é difícil lhe dizer mais sobre isso.