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O problema das singularidades.
Em uma esfera, qualquer que seja o sistema de coordenadas escolhido, você não pode evitar as singularidades (por exemplo, duas singularidades polares):
(50)
Observe que é possível mapear uma esfera com uma única "singularidade polar". Corte a esfera segundo esta primeira família de planos, todos passando pela mesma reta:
(51)
Em seguida, introduza a segunda família de planos, que também intersecta a esfera.
(52)
Se deixarmos de lado essa área problemática local, em outros lugares não há problema algum. Observando a esfera do outro lado, você obtém isto:
(53)
No entanto, nos pontos S, os valores de a e b simplesmente não estão definidos!
No entanto, uma esfera é fundamentalmente uma superfície regular. Gire um ovo nas suas mãos: você não encontrará nenhum ponto especial, nenhuma singularidade intrínseca.
(54)
Conclusão: estas singularidades são um artefato devido à escolha das coordenadas.
Essas singularidades polares não são "reais", elas não constituem singularidades intrínsecas. Você escolhe um sistema de coordenadas, e então um ponto (ou dois) arbitrários tornam-se singulares. As duas singularidades de uma esfera mapeada — o polo norte e o polo sul — são uma criação puramente artificial devido à escolha do sistema de coordenadas.