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Por outro lado, existem singularidades intrínsecas reais nas superfícies. São verdadeiras singularidades geométricas:
(55)
(56)
(57)
E assim por diante...
Ademais, um dobra é uma região particular de uma superfície onde a curvatura linear está concentrada. Na figura (57), à esquerda, temos uma curvatura linear negativa; à direita, uma curvatura linear positiva.
Em cada subfigura, utilizamos duas porções de esfera. O objeto global possui a mesma topologia que a esfera, o que significa que sua curvatura angular total vale $4\pi$.
Suponha que o objeto da esquerda tenha sido construído a partir de duas porções de esfera, cada uma contendo uma curvatura angular de $3\pi$:
$$
3\pi + 3\pi = 6\pi
$$
Isso é muito. Assim, a curvatura linear (negativa) deve compensar isso para obter o valor final necessário $4\pi$:
Em conclusão, nossa dobra contém uma curvatura negativa de:
$$
-2\pi
$$
Essa curvatura está uniformemente distribuída ao longo da curva circular, ao longo da dobra.
Voltemos às figuras (57). Representamos triângulos construídos a partir de linhas geodésicas. Mas você pode atravessar uma dobra sem problemas com uma fita adesiva (estreita). Você sabe como calcular e prever a soma dos três ângulos do triângulo. Basta comparar a área do triângulo com a área da esfera. O excesso de curvatura é:
$$
\text{(58)}
$$
Mas você deve levar em conta a curvatura (negativa ou positiva) contida na porção da dobra, ou seja, no arco $mn$. Essa curvatura vale:
$$
\text{(59)}
$$
Suponha que uma espécie de lente, à direita da figura (57), seja construída a partir de duas porções de esfera, cada uma contendo uma curvatura angular de $\pi$. Assim, se ignorarmos a dobra, esse conjunto de duas porções de esfera contém uma curvatura angular de $2\pi$. No entanto, essa lente possui uma topologia esférica; a contribuição da curvatura angular deve, portanto, ser $2\pi$. Consequentemente:
$$
2\pi + 2\pi = 4\pi \quad \text{(curvatura total da esfera)}
$$
Você também pode prever a soma dos ângulos desse triângulo estranho, formado por três linhas geodésicas. O arco $mn$ contém a seguinte curvatura angular linear:
$$
\text{(60)}
$$
Ao medir a quantidade de curvatura angular contida na dobra, dentro do triângulo, podemos avaliar a diferença em relação à soma euclidiana, que vale $\pi$.
Assim, você vê que pode tratar relativamente facilmente esses problemas de curvatura em superfícies.
Uma superfície pode possuir pontos cônicos ou linhas de dobra. São singularidades intrínsecas, e não essas singularidades artificiais, devidas a uma escolha particular de coordenadas. Observamos que podemos suavizar a dobra; obtemos então uma forma semelhante a uma amêndoa:
$$
\text{(61)}
$$
Isso equivale a suavizar o vértice pontual de um cone (curvatura angular concentrada), transformando o objeto em um cone arredondado (curvatura angular distribuída sobre uma porção de esfera).
Suponha que as duas porções de esfera, representadas acima, na figura (61), correspondam cada uma a $2/3$ de esfera, ou seja, uma curvatura:
$$
\text{(62)}
$$
A porção cinza da "amêndoa" contém curvatura negativa, exatamente:
$$
\text{(63)}
$$