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Espaço representativo.
Vimos, em uma seção anterior, que um cilindro pode ser achatado. Agora, pegue uma folha de papel, uma folha plana. É uma superfície euclidiana. Você pode traçar geodésicas nela. Agora, amasse-a. (64)
Se você pudesse tornar essa superfície amassada rígida e traçar geodésicas com fita adesiva, você encontraria novamente o mesmo sistema! A superfície não havia realmente mudado. Se um habitante vivesse em tal "plano plano", ele talvez não percebesse o processo de amassamento. Tudo permaneceria normal para ele, como é o caso hoje: seguindo as geodésicas da sua superfície espaço-tempo de 2D, por exemplo.
Amassar a folha, você simplesmente modificou o sistema representativo, ou seja, a maneira como a superfície de 2D é imersa no espaço euclidiano de 3D.
Uma modificação mais simples é transformar uma folha metálica plana em uma superfície ondulada. Veja a figura (65) (65)
Há muitos anos, eu estava em um grande mercado de Addis Abeba, na Etiópia. Lá, o metal é raro. Você encontra fábricas onde jovens homens transformam superfícies de chapas onduladas em placas planas, usando um simples martelo. Se um deles tivesse traçado uma geodésica antes da operação, teríamos constatado que o sistema de geodésicas permaneceria inalterado.
Mas, para ser honesto, não estou realmente certo de que esse tipo de pessoa saiba o que é uma geodésica, do ponto de vista matemático, claro. Qualquer pessoa que construa cestas usa naturalmente linhas geodésicas.
Lembro-me de que eu era professor de tecido de cestas, em um acampamento de férias perto de Burlington e do lago Champlain, no Vermont... há muitos anos.
Tenha em mente que os objetos geométricos têm sua própria existência e propriedades, independentes da maneira como você os representa em um espaço com um número maior de dimensões. Amassada ou não, uma folha é uma folha, ou seja, uma superfície euclidiana.
Somos supostos a viver em uma hipersuperfície de 4D. Todos vivemos da mesma forma, em princípio. Mas minha esposa Claire, que é uma pessoa muito encantadora, está convencida de que eu vivo em um espaço com mais dimensões (cinco, segundo ela). Isso às vezes causa dificuldades de comunicação quando estou em minha quinta dimensão pessoal.
Mas as mulheres realmente vivem em uma hipersuperfície de 4D? Às vezes duvido, mas é outra questão.
Suponha que você viva em uma hipersuperfície de 4D e siga as geodésicas desse espaço-tempo, como um boi segue seu sulco.
Agora suponha que você seja Deus. Você quer uma representação completa dessa hipersuperfície de 4D. Então você precisa de pelo menos uma dimensão adicional. Pessoalmente, acredito que, se Deus existe, ele deve viver em um hiperuniverso de dez dimensões. Os argumentos subsequentes serão desenvolvidos na Física Geométrica B, e vêm da teoria dos grupos.
Deus possui uma estrutura de grupo?
Praticamente, o especialista em relatividade geral calcula uma solução de uma equação de campo (a solução de Einstein). Em seguida, ele examina o sistema de geodésicas. São "linhas retas de 4D". No espaço-tempo, ao seguir as geodésicas, a ordem geral é:
- Vá em frente! Não vire nem à esquerda nem à direita.
Você obedece, simplesmente porque não pode fazer outra coisa. Virar é uma absurdeza no espaço-tempo. Tudo, todo mundo "vai em frente".
Mas as coisas, as trajetórias, os caminhos, parecem curvados aos nossos olhos de 3D. Nós os lemos na nossa representação mental do espaço. Nós enfrentamos a parede da caverna de Platão, olhando para sombras dançantes tridimensionais.
Voltemos à nossa imagem didática de 2D, ao cone achatado. Ele é suposto representar o espaço perto de uma concentração de massa (área cinza). Supomos que corresponda a um estado estacionário.
Podemos usar coordenadas esféricas (r, q, j) como marcadores espaciais (em 3D). Em 2D, temos apenas duas: (r, q).
Então podemos projetar a figura em um plano e usar o mesmo conjunto de coordenadas polares. Veja a figura a seguir.
(66)
Como mencionado acima, a superfície do cone achatado é um modelo didático grosseiro, sugerindo uma solução particular da equação de campo de Einstein
(67) S = c T
construída em 1917 por Schwarzschild. É uma obra brilhante e engenhosa. Basta dizer que, naquela época, Albert não era um gênio solitário, perdido em uma ilha deserta. Muitas pessoas acreditam que o grande matemático alemão Hilbert inventou a "equação de Einstein". Outros sugeriram que a Sra. Einstein poderia ter contribuído eficientemente para a construção da relatividade restrita, que surge naturalmente dos trabalhos de Poincaré e Lorentz (se você olhar os trabalhos de Einstein, verá que ele raramente menciona outras pessoas).
A solução de Schwarzschild é uma pedra angular da relatividade geral. É usada para calcular as trajetórias relativistas dos planetas em torno do Sol, evidenciando a precessão do periélio de Mercúrio.
Todo mundo diria imediatamente:
- Por que Schwarzschild não calculou isso por si mesmo?
Havia uma excelente razão para isso: ele estava morto.
Schwarzschild era patriota e insistiu em ir para o front em 1917. Lá, foi envenenado e morreu mais tarde. Einstein continuou o trabalho, que se tornou "a teoria de Einstein".
Era uma solução de estado estacionário. Mais tarde, Einstein tentou construir um modelo do universo, onde a curvatura poderia ser identificada com a densidade de energia-matéria. Mas, naquela época, ninguém sabia que o universo não era estacionário. Albert tentou construir um modelo estacionário, mas as coisas não saíram bem. Em seguida, ele visitou Elie Cartan, grande matemático francês, que o recomendou a adicionar uma constante na equação de campo, o que Einstein fez.
Em seguida, um piloto de planador russo chamado Friedmann inventou uma solução não estacionária. Cerca do mesmo período, Edwin Hubble descobriu o desvio para o vermelho e as características não estacionárias do universo. Einstein ficou muito desapontado e disse:
- Se eu soubesse que o universo não era estacionário, eu teria encontrado a solução antes de Friedmann!
Como diziam os lacedemônios antigamente.
Mas essa história não terminou por aí. Inicialmente, Friedmann havia construído a solução cíclica, uma das três que compõem os "modelos de Friedmann".
Einstein manteve-se calado por anos. Depois da morte de Friedmann, ele publicou o "modelo de Einstein-de Sitter", a "solução parabólica de Friedmann".
Mais tarde, um jovem pesquisador polonês chamado Kaluza enviou um artigo ao "Professor Einstein", recusado para publicação por mais de um ano. Kaluza reclamou com Einstein, que respondeu:
- Você deveria olhar mais atentamente para essa teoria. Estou cético...
Anos depois, a ideia de Kaluza (adicionar uma quinta dimensão ao espaço-tempo) tornou-se o ponto de partida de obras avançadas (incluindo a abordagem das supercordas). Veja a Física Geométrica B.
Bem, Albert não era tão esportivo...
Voltemos ao modelo estacionário de 3D correspondente à geometria espaço-tempo ao redor do Sol. O cálculo fornece geodésicas localizadas em planos. Se o efeito de curvatura for moderado e a velocidade for baixa em comparação com a velocidade da luz c, sua projeção, em um espaço-tempo euclidiano representativo, corresponde a trajetórias quase keplerianas e às leis de Kepler. Podemos ignorar o tempo e representar essas geodésicas em planos, usando coordenadas polares.
r = f (q).
Na solução de Schwarzschild, na verdade existem duas "soluções métricas" relacionadas, como indicado na figura (68). Dentro do "corpo massivo", a densidade de massa r é suposta constante. Lá, o tensor energia-matéria T não é nulo. Mas, fora, r e T são nulos.
(68)
Trata-se de uma geometria composta. Em 3D, a densidade de massa apresenta uma descontinuidade abrupta na superfície (suposta esférica) da "concentração de massa". Isso se parece com a descontinuidade da densidade de curvatura angular na superfície (não nula na área cinza, nula fora). A fronteira torna-se uma esfera S1, ou seja, um... círculo.
Em 4D, o link matemático pode ser estabelecido para garantir a continuidade das linhas geodésicas. Isso se parece com a porção de ligação de uma porção de esfera ou de um posicono.
Quando a massa se torna importante (o que não pode ser descrito pelo nosso modelo didático grosseiro de 2D), as trajetórias fechadas já não são elípticas.
Veja a figura (69). Este desenho corresponde à trajetória de uma sonda espacial em torno de uma estrela de nêutrons.
A trajetória de Mercúrio em torno do Sol é semelhante, mas a precessão do periélio das trajetórias elípticas é de 0,15° por século.
(69)
Um dia, incluiremos as fórmulas e o programa que permitem brincar com esse problema. Não é muito difícil.
Algumas informações matemáticas no final desta página e na seguinte, se desejar, você pode ir diretamente para a página 13 aqui