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Contexto geométrico.****
Uma esfera é um objeto geométrico de duas dimensões. Precisamos de duas grandezas, dois números, dois escalares, para localizar um ponto sobre ela.
Uma esfera é uma superfície que possui uma topologia. Sua topologia é diferente da do toro.
Ambos possuem sistemas geodésicos. Como indicado em uma seção anterior, podemos imaginar dois pontos distintos M1 e M2 sobre uma esfera e uma curva que os conecte. Podemos então medir o comprimento ao longo deste caminho específico. Trata-se de uma quantidade invariante com a mudança de coordenadas. Uma esfera S² existe independentemente de qualquer espaço representativo em 3D. Mas podemos representá-la no nosso espaço euclidiano familiar em 3D, no qual supostamente vivemos. Podemos então atribuir-lhe um centro e ligar todos os seus pontos a esse centro. Ver figura (116). Cada ponto corresponde a dois ângulos: q e j.
(116)
Fizemos um furo na esfera para mostrar os vetores OM, onde O é o centro e M é um ponto da esfera.
Agora, a figura (117) mantém os vetores e esquece a esfera.
(117)
Essas semi-retas são infinitas, mas as representamos cortadas em um comprimento dado, correspondendo ao raio R da nossa esfera. Cada reta corresponde a um par (q, j). A estrutura métrica desapareceu. Nenhuma geodésica, nenhuma comprimento. O que resta?
Cada uma dessas semi-retas tem vizinhos, que formam seu vizinho. Cada semi-reta pode ser imaginada como cercada por uma sequência de cones (figura (118)).
(118)
Em torno de qualquer reta, podemos colocar tantos cones quantos quisermos. Entre dois desses cones, sempre podemos colocar outro. Isso sugere intuitivamente o conceito de diferenciabilidade. Nesse objeto geométrico, não há nenhuma descontinuidade.
Agora, esqueçamos a esfera e tomemos uma superfície plana. É um conjunto de pontos. Qualquer que seja o sistema de coordenadas que eu escolha, posso definir os pontos com duas grandezas: (x,y), (r,q), etc.
Um par de números reais. Esses pares são escolhidos em R², ou seja, no conjunto dos números reais, como (3,8705, -17,56).
Qualquer par de números reais (x; y) possui um número infinito de vizinhos (x + Dx; y + Dy).
Esses objetos "pré-métricos" são chamados por matemáticos de variedades.
É bastante difícil pensar em um meio "flexível" assim. Na figura (119), representamos uma superfície rígida plana, com propriedades métricas, e abaixo, a sombra dos seus pontos.
(119)
Uma sombra não tem forma própria, nem extensão. Ela depende da tela e da produção dos raios luminosos. Na figura (120), sugerimos a relatividade da sombra em relação ao objeto.
(120)
Essas "retas paralelas" são semelhantes a esses raios que introduzimos para ligar os pontos de uma esfera ao seu centro. Aqui, os pontos do plano estão "ligados" a uma "fonte" localizada no infinito.
Abandone essa última ideia de retas retas. Considere um pacote de espaguete cozido (se não estiver, eles deveriam ser rígidos e quebradiços). Podemos curvá-los. Mas impomos aos espaguete para permanecerem unidos. Seu vizinho não deve ser modificado.
(121)
Tudo isso é muito grosseiro, sei disso, e não totalmente rigoroso. Estou apenas tentando sugerir ao leitor o que é uma variedade, um objeto geométrico sem métrica, cuja propriedade principal é que cada ponto possui vizinhos.
Uma variedade é um conjunto de pontos m. Posso imaginar que associei a cada ponto de uma variedade um par (M1, M2) de pontos pertencentes a superfícies reais, possuindo propriedades métricas, comprimentos, etc.
Chamo a variedade de n dimensões de variedade esquelética e as superfícies associadas de n dimensões simplesmente de dobras. Em seguida, construo o revestimento de duas dobras de uma variedade.
Na figura (122) está o revestimento de duas dobras de uma variedade m2 (duas dimensões).
(122)
Na figura (122), representei dobras euclidianas idênticas e paralelas, com a mesma métrica. Mas posso construir a figura (123):
Chamaremos M e M* pontos conjugados. Construir essas duas dobras a partir de uma "variedade esquelética" tem um significado preciso: a qualquer ponto M da dobra F, podemos associar um e apenas um ponto conjugado M*. Existe uma aplicação ponto a ponto. Podemos então esquecer a variedade esquelética.
A qualquer vizinhança de um ponto da dobra F corresponde a vizinhança do seu ponto conjugado M*. Ver figura (124). Isso significa que a qualquer região regular de F corresponde uma região regular conjugada pertencente a F*.
(124)
Isso mostra, por exemplo, que os pontos conjugados M e M* são descritos pelo mesmo conjunto de coordenadas.