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Curvaturas conjugadas.****
Como compreender espaços de 3 dimensões, com curvatura local positiva ou negativa?
Comece com superfícies de 2 dimensões. Considere uma esfera e fixe um prego em algum ponto dela, como mostrado na figura (125). Fixe um fio cujo comprimento é L, ligando o prego a um lápis. Podemos usá-lo para desenhar um círculo, um paralelo da esfera. Um paralelo de uma esfera é o conjunto dos pontos que estão à mesma distância L de um ponto dado S.
Podemos fazer operações semelhantes (figuras (125)):
- Em uma sela de cavalo
- Em um plano.
(125)
Em uma superfície plana, o perímetro é 2πL enquanto a área do disco é πL².
Na esfera, o perímetro e a área do disco são menores. Ao contrário, na sela de cavalo, eles são maiores.
Considere uma esfera e um paralelo que corresponde ao seu equador. Veja a figura (126). Os valores correspondem à figura (126).
(126)
A área do disco é 3,875 vezes maior que a porção (cinza) correspondente da esfera. Seu perímetro é 1,57 vezes maior que o comprimento do equador.
Testes semelhantes mostrariam a curvatura negativa da sela de cavalo. Se traçarmos uma curva fechada, conjunto dos pontos que estão à mesma distância L de um ponto dado, em uma sela de cavalo, a área desse disco de curvatura negativa será maior que a área de um disco plano πL². Da mesma forma, o perímetro do disco de curvatura negativa será maior que o do disco plano: 2πL.
A geometria é uma ciência para os cegos. Os geômetras tentam construir testes que os habitantes de um espaço dado poderiam realizar para descobrir por si mesmos suas propriedades geométricas. A partir das figuras anteriores, os habitantes de uma superfície de duas dimensões, incapazes de vê-la de um ponto externo (pois vivem nela), poderiam descobrir, a partir de medições de área e comprimento, se a porção da superfície em que vivem possui curvatura local positiva, curvatura local negativa ou curvatura local nula (espaço euclidiano).
Note que existem superfícies cuja curvatura local pode ser positiva, nula ou negativa. Exemplo: um toro.
(126ter)
Métodos semelhantes se aplicam aos espaços de 3 dimensões. Escolha um ponto O, em qualquer lugar. Pegue um fio, um "lápis" e use-o para desenhar o conjunto dos pontos localizados a uma distância dada L do ponto considerado. Você obterá uma esfera e poderá medir sua área. Se essa superfície foi construída em um espaço euclidiano de 3 dimensões, essa área será: 4πL².
Se essa área for encontrada menor, isso significa que esse espaço de 3 dimensões não é euclidiano. Trata-se de um espaço de 3 dimensões de Riemann, com curvatura positiva. Se medirmos o volume, verificaremos que ele é menor que:
(127)
A situação será invertida se tratarmos um espaço de 3 dimensões com curvatura negativa. A área da esfera, considerada como o conjunto dos pontos localizados a uma distância dada L de um ponto fixo O, será maior que 4πL². O volume dentro dessa superfície fechada será maior que (127).
A cosmologia não se baseia em espaços simples de 3 dimensões, mas em hipersuperfícies de 4 dimensões (com assinatura "hiperbólica"), de forma que essa apresentação é limitada. Devemos considerá-la como um modelo didático rudimentar.
A curvatura escalar de Riemann de um espaço de n dimensões é um pouco diferente.
No nosso modelo cosmológico atual, assumimos que a curvatura escalar de Riemann local, nos pontos conjugados (M, M), são opostas:
*(127bis)
R* = - R
O especialista encontrará mais detalhes no artigo:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, março 1998.
Em seguida, uma imagem didática útil em 2 dimensões, correspondente à figura 39.
(128)
Em cima: um posicono suavizado. Curvatura local (angular) nula na parte do posicono. Densidade de curvatura positiva constante na parte (cinza) de uma esfera.
Embaixo: um "negacono suavizado". Densidade de curvatura local (angular) nula na parte do negacono que envolve a sela de cavalo. Densidade de curvatura negativa constante na parte da sela de cavalo, voltada para a parte de uma esfera.
As curvaturas são conjugadas. Face a face, com correspondência ponto a ponto, as partes de curvatura local nula do posicono e do negacono.
Face a face, com correspondência ponto a ponto, uma superfície com curvatura positiva constante (uma parte de uma esfera) e uma superfície com curvatura negativa (sela de cavalo). As densidades de curvatura são iguais e opostas. Os bordos circulares estão conectados, ponto a ponto.
Esta é uma imagem didática do nosso modelo cosmológico. Para mais detalhes matemáticos, veja:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, março 1998.