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Os dois plissados estão separados. Supomos que as partículas seguem as geodésicas de cada plissado. Chamamos de "partículas normais" as partículas da matéria comum, que se movem no plissado F. Chamamos de "fótons normais" os que se movem no plissado F, ao longo de suas geodésicas especiais "nulas".
Chamamos de "matéria fantasma" a matéria que segue as geodésicas do plissado F*.
Chamamos de "fótons fantasma" os fótons que se movem ao longo de suas trajetórias (especiais, nulas) no plissado F*.
A luz emitida pela matéria, no plissado F, não pode ser recebida pela matéria fantasma, pois os fótons não podem passar do plissado F para o plissado F*.
"A luz fantasma", emitida por "átomos fantasmas" no plissado F*, não pode ser recebida pela matéria localizada no plissado F, pois os fótons fantasmas não podem passar do plissado F* para o plissado F.
Como conclusão, os objetos localizados em F* são invisíveis ópticamente a partir do plissado F, e vice-versa. Supomos que estes dois mundos se comunicam apenas por gravitação.
A invisibilidade dos objetos do outro plissado baseia-se em argumentos puramente geométricos.
Introdução de um sistema de equações de campo.
A relatividade geral clássica era regida pela equação do tensor de campo de Einstein:
(129)
S = c T
O tensor T pode ser considerado como a entrada do problema, a pergunta sendo:
- Qual geometria corresponde a um campo de energia-matéria dado?
Uma geometria é (localmente) totalmente contida em um objeto matemático chamado métrica g (que é um tensor), a partir do qual podemos construir o "tensor geométrico S", e resolver a equação de campo.
A partir do tensor métrico g, também podemos construir o sistema de geodésicas da hipersuperfície-solução e "lê-lo".
Aqui, temos duas hipersuperfícies interagentes, cada uma possuindo sua própria métrica. Chamamos g de métrica da hipersuperfície F (plissado F) e g* de métrica da hipersuperfície F* (plissado F*).
A hipótese das curvaturas conjugadas dá:
S* = - S ****
S sendo o tensor geométrico construído a partir da métrica g e S* o tensor geométrico construído a partir da métrica g.*
(mas isso não implica que g* = - **g **).
A hipótese das curvaturas opostas é justificada no artigo:
** J.P.Petit & P.Midy : Geometrização da matéria e da antimátéria por ação coadjunta de um grupo em seu espaço de momentos. 4: O grupo gêmeo. Descrição geométrica da antimátéria de Dirac. Interpretações geométricas da antimátéria após Feynman e o chamado teorema CPT. Física Geométrica B, 4, março 1998.**
com base em argumentos da teoria dos grupos.
Geometria induzida.****
A figura (128) corresponde a um efeito de geometria induzida. A matéria está presente no plissado F, dentro da fronteira (circular). Ela corresponde à área cinza. Em 3D, esta matéria preencheria uma esfera com densidade constante.
O plissado F* está totalmente vazio. Dentro da fronteira circular, diante do disco cinza pertencente a F, mantemos a superfície branca. Isso significa que esta curvatura negativa é devida à presença de uma massa no outro plissado. Trata-se de uma geometria induzida.
Na figura (128), a massa está em F. Podemos descrevê-la por um tensor T (conteúdo local de energia-matéria). As geometrias correspondem às equações:
**S = *c T
S = - c T ou seja:
S* = - S
A partir deste sistema, calculamos as geodésicas dos dois plissados (ver Física Geométrica A, 5).
Ponto importante:
Considere uma geodésica do plissado F e a curva formada pelos seus pontos conjugados M* no plissado F*. Eles não formam uma geodésica do plissado F* (131)
Reciprocamente, considere uma geodésica do plissado F* e sua imagem, ponto a ponto (ponto conjugado), no plissado F. Isso definitivamente não é uma geodésica do plissado F.
(132)
Damos ao nosso Universo (suposto ser o plissado F) um irmão gêmeo (suposto ser o plissado F*). Supomos que nosso Universo contenha massa positiva, que produz curvatura positiva neste plissado F (ou curvatura nula nas regiões onde nenhuma energia-matéria está presente).
Supomos que o sistema tenha produzido uma geometria induzida no plissado gêmeo F*, com curvatura negativa ou nula (curvatura conjugada).
As duas geometrias são supostas obedecer ao sistema de equações de campo.
(133) **S **= c T
(134) *S = - **c T
onde T é suposto descrever o conteúdo energético-matérial do plissado F.
A partir das geodésicas projetadas (fig. 128), vemos que uma massa localizada no plissado F atrai uma partícula-teste em movimento nesse plissado, mas repele uma partícula-teste em movimento no plissado gêmeo F*, ao longo de uma geodésica deste, como se ela repulsasse as muitas partículas que poderiam estar localizadas nesse plissado gêmeo F* (suposto seguir as geodésicas deste plissado).
Os fótons fantasma seguem as geodésicas (nulas) do plissado F*. Como podemos ver, a presença de uma massa M no plissado F produz um efeito de lente gravitacional negativa no plissado F*.
Construímos a solução matemática exata do sistema de equações de campo acima. Veja:
J.P.Petit & P.Midy : Astrofísica da matéria fantasma. 2: Métricas estacionárias conjugadas. Soluções exatas. Física Geométrica A, 5, março 1998.
No plissado F, a solução corresponde à solução clássica chamada de Schwarzschild. Sugerimos chamar a solução métrica conjugada, que descreve a geometria do plissado F*: "negaschwarzschild".
Versão original (inglês)
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The two folds are separated. We assume that particles follow the geodesic of each folds. Call "normal particles" the particles of normal matter, which travel in the fold F. Call "normal photons" the ones which travel in the fold F, along their special "null-geodesics".
Call "ghost matter" the matter which follows geodesics of the fold F*.
Call "ghost photons" the photons which travel along their (special, null-geodesics) paths, in fold F*.
Light emitted by matter, in fold F, cannot be received by ghost matter, for photons cannot cross from fold F to fold F*.
"Ghost light", emitted by "ghost atoms" in the fold F*, cannot be received by matter, located in the fold F, for ghost photons cannot cross from the fold F* to the fold F.
As a conclusion, the objects located in F* are optically invisible from the fold F, and vice-versa. We assume that these two worlds only communicate through gravitation.
The invisibility of the other fold's objects is based on pure geometric grounds.
Introducing a field equations system.
Classical general relativity was ruled by the Einstein field tensor equation :
(129)
S = c T
The tensor T can be considered as the input of the problem, the question being :
- What geometry goes with a given energy-matter's field ?
A geometry is ( locally ) fully contained in a mathematical object called a metric** g** (which is a tensor), from which we can build the "geometric tensor S", and solve the field equation.
From the metric tensor** g** we can also build the geodesic system of the hypersurface-solution and "read it".
Here we have two interacting hypersurfaces, each owning its metric. Call g the metric of the hypersurface F (fold F) and g* the metric of the hypersurface F* (fold F*).
The hypothesis of conjugated curvatures gives :
S* = - S ****
S being the geometrical tensor built from the metric g and S the geometrical tensor built from the metric g.**
( but this does not imply** g*** = - **g **).
The opposite curvatures hypothesis is justified in the paper :
** J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's anti-matter. Geometrical interpretations of anti-matter after Feynmann and so-called CPT-theorem. Geometrical Physics B, 4, march 1998.**
on group's theory arguments.
Induced geometry.****
The figure (128) corresponds to an *induced geometry *effect. Matter is present in the fold F, inside the (circular) border. It corresponds to grey area. In 3d this matter would fill a sphere with constant density.
The fold F* is totally empty. Inside the circular border, facing the grey disk, which belongs to F, we keep the surface white. It means that this negative curvature is due to the presence of a mass in the other fold. This is an *induced geometry *.
In (128) the mass is in F. We can describe it by a tensor** T** (local energy-matter content). The geometries correspond to equations :
**S = *c T
S = - c T i.e :
S* = - S
From this system one computes the geodesics of the two folds ( see Geometrical Physics A , 5 ) .
Important point :
Consider a geodesic of the fold F and the curve composed by its conjugated points M* on fold F*. They do not form a geodesic of F*
(131)
Conversely, consider a geodesic of fold F* and its image, point to point (conjugated point) in fold F. This is definitively not a geodesic of fold F.
(132)
We have given our Universe ( supposed to be the fold F ) a twin brother ( supposed to be the fold F* ). We have assumed that our Universe contains positive mass, which produce positive curvature in this fold F ( or zero curvature in the regions where no energy-matter is present).
We have assumed that system produced an induced geometry in the twin fold F*, with negative or zero curvature (conjugated curvature).
The two geometries are supposed to obey the field equations system.
(133) **S **= c T
(134) *S = - **c T
where T is supposed to describe the energy-matter's content of fold F.
From the projected geodesics ( fig. 128 ) we see that a mass located in the fold F attracts a test-particle cruising in that fold, but repels a test-particle cruising in the twin fold F*, alongs a geodesic of this one, as if it repelled the many that could be located in that twin fold F* ( supposed to follow geodesics of this fold ).
Ghost photons follows (null) geodesics of the fold F*. As we can see, the presence of a mass M in the fold F produces a *negative gravitational lensing effect in fold F.
We have built the exact mathematical solution of the above field equations sustem. See :
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A , 5 , march 1998.
In Fold F the solution corresponds to the classical so-called Schwarzschild solution. We suggest that we call the conjugated metric solution, describing the fold F*'s geometry : "nega-Schwarzschild".