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Geodésicas.
...A seguir tratamos de superfícies 2D. A propósito, por que uma superfície é um objeto 2D? Porque você precisa de dois parâmetros para localizar um ponto nela. Exemplo: longitude e latitude na Terra.
...São coisas que você entenderá melhor com as mãos do que com a cabeça. Tente descobrir algumas coisas antes de começar a ler este texto. Você precisa de:
- Papel, firme e flexível.
- Fita adesiva colorida.
- Tesoura
...A seguir, com esse tipo de fita adesiva colorida, você pode fazer tiras de largura constante.
(6)
...Pegue qualquer superfície, por exemplo a carroceria do seu carro. Você pode colar sua tira de fita adesiva nela, evitando cuidadosamente vincos. Então você obtém geodésicas dessa superfície. Há uma infinidade delas na carroceria do seu carro.
Você pode fazer isso em um prato plano. Então você obtém "retas do seu plano".
"Retas" são apenas geodésicas peculiares, aquelas no plano.
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Com três geodésicas você faz um triângulo nessa "superfície euclidiana". Então a soma dos três ângulos é 180°.
Posicones.
...Agora, vamos construir um "posicone", uma espécie de "cone positivo". Basta pegar um pedaço de papel, uma superfície plana, e cortar um setor com a tesoura. Depois junte as linhas SA e SB, como indicado na próxima figura.
(8)
...Agora, com nossa fita adesiva, desenhamos três linhas geodésicas nessa superfície, como mostrado na figura (9). Podemos medir a soma dos três ângulos e encontramos dois casos:
Se o triângulo não contém o vértice S deste posicone, a soma continua sendo 180°.
Se ele contém o vértice, seja qual for a disposição ao redor dele, pequeno ou grande, a soma é: 180° + q.
(9)
Para entender, você pode cortar seu posicone e colocá-lo plano. Então seu ângulo q aparece claramente.
(10)
...Você pode facilmente verificar que as duas retas AH e podemos, portanto, verificar facilmente que as retas SH e SH' formam um ângulo igual a q.
... Um cone é uma superfície que pode ser colocada plana, depois de cortada ao longo de uma linha que contém o vértice. Em francês dizemos que é uma superfície "développable", mas não encontro a palavra em inglês no meu dicionário. O mesmo para um cilindro.
(11)
...Você pode desenhar linhas geodésicas em um cilindro, com sua tira de fita adesiva. Mas, depois de fazer seu corte e colocar seu cilindro plano, suas linhas geodésicas se tornam... retas.
Você também pode rolar tais superfícies (cone, cilindro) sobre um plano. Próxima figura.
(12)
...Você pode desenhar uma geodésica em um cone ou em um cilindro com tinta, e então rolá-lo sobre um plano, usando-o como matriz de impressão. Então, no seu plano, você imprimirá retas.
...Inversamente, se você desenhar retas no seu plano e rolar o cone ou o cilindro sobre ele, antes que a tinta seque, você imprimirá geodésicas nele.
