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(Positiva) Curvatura.
Quando desenhamos um triângulo, usando nossa fita adesiva, sobre um plano,
a soma do valor dos ângulos é 180°. Esta é uma superfície euclidiana. Diremos
que ela não contém curvatura. É realmente uma superfície plana. A soma
dos ângulos do nosso triângulo é a soma euclidiana. Quando desenhamos o triângulo
sobre nosso cone, nosso "posicone", e quando o vértice S estava fora dele, a soma
ainda era 180°. Ao contrário, quando o vértice estava dentro, a soma era 180°
mais o ângulo q (o
corte que fizemos para construir nosso posicone, ver figura (8)).
Este vértice é um ponto peculiar da superfície, um ponto cônico, e diremos que ele contém alguma curvatura concentrada (positiva).
É um ponto de curvatura concentrada (positiva).
Agora podemos fazer dois cortes, correspondentes aos ângulos q1
e q2 . Ver
figura (13). Então obtemos uma superfície estranha com dois pontos cônicos S1
e S2. Ver figura (14).
(13)
(14)
Agora você pode desenhar quantos triângulos geodésicos quiser,
correspondendo a diferentes casos.
-
Se eles não contiverem nenhum vértice cônico, a soma dos ângulos
é 180°. -
Se eles contiverem o vértice S1 , a soma é
180° mais q1. -
Se eles contiverem os dois vértices, q1
e q2, a
soma é 180° + q1+
q2
(15)
Imagine agora que você pode fazer um grande número de pequenos posicones
e colá-los juntos, como mostrado na figura (16). Cada pequeno posicone corresponde
a um ângulo elementar Dq
. Você pode arranjar esses minicones de maneira regular. Quero dizer: a distância
entre um vértice e os vértices dos minicones vizinhos seria quase
constante em toda parte.
(16)
Se seus minicones ficarem cada vez menores, assim como
seus ângulos elementares associados Dq
, você construirá uma porção de superfície regular com densidade de curvatura constante.
Uma esfera é uma superfície com densidade de curvatura local constante.
De maneira mais simples, diz-se que a esfera é uma superfície de curvatura constante.
Se você arranjar seus minicones de outra forma, poderá construir
uma superfície de densidade de curvatura local variável . Por exemplo, um ovo.
O ovo de uma galinha é uma superfície de densidade de curvatura local variável. Mas uma bola de pingue-pongue
é uma superfície de densidade de curvatura constante. É por isso que a galinha reconhece
seu ovo e o diferencia da bola de pingue-pongue. Ela desenha geodésicas
com fita adesiva, e assim por diante...
Na verdade, a galinha não traça fisicamente geodésicas
sobre o objeto. Ela o faz mentalmente .
(17)
Na relatividade geral, identifica-se a densidade de massa r
à curvatura local.
É claro que o campo de atuação da relatividade geral não é uma superfície
bidimensional. Você pode imaginar uma hipersuperfície tridimensional. Você pode imaginar uma hiperesfera tridimensional.
Mas quem pode imaginar uma hipersuperfície quadridimensional?
A propósito, a curvatura quadridimensional da hipersuperfície quadridimensional chamada
"universo" tem características especiais que não vamos explorar aqui. Isso mostra
que os modelos didáticos são limitados. Mas eles são bons para estimular a imaginação
e abrir a mente para mundos um tanto diferentes.
