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Imagem didática de um corpo celeste (estrela, planeta, ovo denso)
Uma estrela como o Sol é uma concentração de massa.
Ao redor: o vazio, ou uma porção de espaço "quase vazio", pois contém gás muito rarefeito e fótons. Em 2d, a imagem didática correspondente é um cone obtuso (posi):
(18)
Você pode construí-lo com dois componentes. Uma porção de uma esfera e uma porção de um cone (posi), coladas. A porção de uma esfera é uma superfície de densidade de curvatura constante. A porção do cone é uma superfície plana, uma superfície de densidade de curvatura local nula. Este último exemplo é uma superfície euclidiana. A porção da esfera é uma superfície não euclidiana (uma superfície riemanniana).
Esta é a imagem didática em 2d de um objeto de densidade constante r, cercado pelo vazio.
Como fixar os dois elementos juntos, a fim de garantir a continuidade do plano tangente? É simples. Sua porção de cone vem de um cone cujo corte correspondia a um ângulo q. Sua porção de esfera supõe-se construída com mini-posicones elementares, de modo que contenha uma certa "quantidade de curvatura angular" q. Se os dois ângulos forem iguais, o plano tangente será contínuo.
Mas como medir a quantidade de curvatura contida em uma dada porção de uma esfera?
Curvatura total.
Podemos construir uma superfície, unindo posicones elementares. Podemos arranjá-la para obter uma superfície de densidade de curvatura constante. Então sabemos que a superfície é uma porção de uma esfera. Se adicionarmos cada vez mais cones (posi) elementares, essa esfera ficará completa. Ela contém uma certa quantidade de curvatura angular. Todas as esferas contêm a mesma. A curvatura angular total de uma bola de pingue-pongue e a curvatura angular total da Terra são iguais, embora tenham peso muito diferente.
Aliás, a curvatura total de um ovo é a mesma, pois têm a mesma topologia. Em princípio, as galinhas fazem ovos com topologia esférica. Pessoalmente, nunca vi um ovo com topologia toroidal. Corresponderia a alguma cobra estranha, sem cabeça nem cauda, ou algo assim.
Voltemos às bolas de pingue-pongue, esferas normais. Se esta superfície tem uma densidade angular local constante, isso significa que a quantidade de curvatura angular (a soma dos ângulos elementares Dq) será proporcional à área. Veja a figura 19. Esta área pode ser limitada por qualquer tipo de borda. Mas podemos usar geodésicas da esfera. Chame S a área da esfera e s a área cinza, dentro do triângulo.
(19)
Acima, vimos que o afastamento (positivo) da soma euclidiana (180°), para um triângulo desenhado numa superfície, dependia do número de vértices de cone que estavam dentro. A soma era 180° mais todos os ângulos correspondentes àqueles vértices encerrados.
Inversamente, se eu meço o afastamento da soma euclidiana, posso medir a quantidade de curvatura contida dentro do triângulo.
Uma geodésica de uma esfera é chamada de grande círculo da esfera. Veja a figura (20). Meridianos, equador, são grandes círculos da esfera.
(20)
Podemos cortar nossa esfera em oito pedaços de área igual. Veja a figura (21). Obtemos oito triângulos cujos todos os valores dos ângulos são 90°. Então o afastamento da soma euclidiana é 90°. Cada um desses triângulos contém uma curvatura angular igual a 90°. Como conclusão, a curvatura total, a curvatura angular total da esfera é 8 x 90° = 720° = 4 p.
(21)
Cada triângulo cinza contém p/2.
Você gosta de superfícies curvas, geometria de superfícies riemannianas?
Se voltarmos ao nosso cone obtuso, vemos que a curvatura angular está contida dentro da borda circular, na área de densidade de curvatura constante. O flanco do cone, a parede, não é uma superfície limitada. Você pode estendê-lo ao infinito se quiser. A quantidade de curvatura angular não depende do perímetro da borda, da área da porção de uma esfera. Esta última pode ser reduzida. Veja a figura (22). Mesmo reduzida a um simples ponto, onde conterá a mesma quantidade de curvatura angular. É por isso que dizemos que um ponto cônico era um ponto de curvatura concentrada. Inversamente, podemos construir superfícies suaves com um conjunto de pontos cônicos.
A matéria é feita de átomos. Os átomos podem ser considerados objetos pontuais. Eles são "pontos de curvatura concentrada" no espaço 3d.
O ar que você respira é um meio de densidade constante. É feito de moléculas, átomos. É um conjunto de pontos de curvatura concentrada, ligados por porções euclidianas de espaço. Você assimila isso a um meio de curvatura constante.
Da próxima vez que respirar, pense nisso. .
(22)
