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Negacones.
Construamos agora o que chamaremos de "negacone". Para construir
um posicone, removemos um setor de um plano. Aqui adicionamos um, correspondente
a um ângulo q:
(30)
Nesta superfície podemos desenhar linhas geodésicas, com nossa fita
adesiva, e formar um triângulo com três delas. Se você medir a soma dos
ângulos, verá que é 180°-q
. Diremos que isso define uma concentração de curvatura negativa.
Existem objetos com curvatura negativa na sua casa.
Alguns assentos, por exemplo: (30 bis)
Se tomarmos um disco, obtemos a figura (31):
(31)
É claro que, se o triângulo composto pelas três geodésicas
não contiver o vértice S, que contém toda a curvatura
angular (negativa), a soma será a soma euclidiana: 180°.
A sela de cavalo.
Você pode construir um grande número de negacones
elementares
com ângulo - Dq
e juntá-los. Você pode fazer isso para ter uma distância quase constante
entre dois vértices vizinhos. Então você construiria uma superfície de
densidade de curvatura negativa constante: uma sela de cavalo. Mas essa superfície nunca
ficará fechada.
Em geral, o geômetra a chama de superfície de curvatura
negativa constante.(32)
"Negacone rombudo".
Em uma seção anterior, usando uma superfície de densidade de curvatura positiva
constante (uma porção de uma esfera) e uma porção de posicone, construímos
um posicone rombudo.
De modo semelhante, podemos construir o que chamaremos de negacone rombudo.
Temos que juntar uma sela de cavalo a uma porção de negacone, ao longo de sua borda
circular comum. Para gerenciar a continuidade do plano tangente, a
curvatura (negativa) contida na sela de cavalo deve ser igual à curvatura negativa
envolvida na construção do negacone.
É relativamente fácil construir a porção necessária de
um negacone!
(33)
NB: Assim como o posicone, o negacone pode ser usado como matriz
de impressão. Mas dificilmente podemos ver como rolar um negacone em um plano
plano. Portanto, é mais fácil rolar o plano sobre uma matriz de curvatura negativa.
Gutemberg inventou a técnica de impressão. Um desenho em
relevo é gravado em um plano. Depois se coloca tinta nele e se pressiona sobre um
plano.
Mais tarde, a matriz de impressão foi convertida em um cilindro,
para impressão de jornais (prensa rotativa).
Mas ninguém, pelo que sei, usou a prensa cônica.
Em todos os casos, o ponto importante é colocar as duas superfícies
em contato, seja lá o que se faça. Ou você move a matriz, ou você rola o
papel (a superfície plana).
Como mostrado na figura (34), você pode usar uma matriz cônica para
imprimir algo em um plano. Algum jornal cônico, posto plano.
(34)
Não é definitivamente certo que ninguém usará isso,
algum dia. Suponha que você queira produzir vestidos, com um design especial, correspondente
à simetria cônica. Suponha que você tenha que produzir milhares de vestidos assim.
Você poderia gravar o design nativo em uma matriz cônica, depois usá-la
para imprimir no material, ou no tecido. O cliente poderia comprá-lo e fazer
o vestido "cônico", tendo a certeza de que o padrão obtido seria bom, por
toda parte.
Na figura (35) está o que você obtém se imprimir com uma matriz de curvatura
negativa. À direita, um negacone posto plano.
(35)
Na figura (36) mostra como juntar a sela de cavalo à
porção de negacone.
A propósito, você pode perguntar:
- Como posso medir a curvatura angular negativa contida
na minha sela de cavalo?
Em alguns lugares no Texas, perto de departamentos de matemática,
quando você compra uma sela de cavalo, a curvatura angular correspondente é indicada
no bilhete anexo. Se não, quando você compara o perímetro da borda,
ou a área, ao valor euclidiano, calculado a partir do raio deste disco de curvatura
negativa, você pode deduzir a curvatura angular correspondente. Considere
isso um exercício frutífero.
(36)
(37)
Agora podemos usar nossa fita adesiva, desenhar geodésicas e projetá-las
em um plano, como mostrado na figura (38).
(38)
Como de costume, esta projeção plana se refere ao nosso "mundo
mental", a parede da caverna de Platão. O aspecto da geodésica projetada significaria
para nós que alguma força repulsiva está agindo sobre nossos objetos de referência, por exemplo
uma força gravitacional repulsiva. De fato, tudo isso deveria vir da
geometria subjacente.
