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Geometrias conjugadas.
Podemos agora associar um posicone rombudo e um negacone rombudo.
Frente a frente: uma porção de esfera e uma sela de cavalo, com curvatura
angular oposta + q
e - q. Temos uma correspondência
ponto a ponto (aplicação injetiva). Na figura (39) foi desenhado um par de pontos
conjugados.
Chamamos geometrias conjugadas a duas estruturas geométricas,
com uma ligação ponto a ponto, tais que as densidades de curvatura local são opostas.
É o caso da porção de esfera e da correspondente sela de
cavalo. O mesmo se aplica à porção de posicone, frente a uma porção de
negacone. As suas densidades de curvatura angular local são nulas.
(39)
A curvatura positiva, na dobra F, está inteiramente contida
na porção de esfera. A porção de posicone é uma superfície euclidiana,
que é "localmente plana". Na outra dobra F*, a dobra conjugada, toda a
curvatura angular (negativa) está contida na sela de cavalo. Fora, a
porção de negacone é "localmente plana", não contém curvatura.
Note que, dada uma dobra, pode construir-se a outra.
Relatividade Geral.
A ideia básica é que o conteúdo local de "matéria-energia"
determina a geometria local, molda a hipersuperfície do espaço-tempo. Note
que a palavra composta "matéria-energia" mostra que qualquer conteúdo determina
a geometria do universo: matéria e radiação. Numa secção precedente evocámos
o facto de os fotões contribuírem para a curvatura (positiva).
Hoje a contribuição do fundo cósmico é negligível. A contribuição da matéria
para a geometria é dominante. Mas, num passado distante, a situação era inversa
: no Modelo Padrão, quando t < 500 000 anos.
Procuremos algum modelo didático para figurar os
conceitos básicos da relatividade geral. Lidemos com sistemas em estado estacionário.
Considere-se uma superfície plana, sem qualquer tensão interna. Podemos modificar a sua geometria
se introduzirmos tensão local. Podemos introduzir tensão positiva ou negativa
(tensor de tensão). Por exemplo, se aquecer uma película de plástico, criarei uma bolha
(efeito de curvatura positiva)
Posso também impregnar o material com um produto que,
ao secar, provocará um estiramento local (efeito de curvatura negativa).
Um caldeireiro sabe como aplicar aquecimento e arrefecimento
para moldar uma superfície metálica, por exemplo, uma lata que sofreu um acidente.
Pegue-se num simples tubo metálico. Aqueça-se de um lado
e arrefeça-se do lado oposto. O que acontecerá?
(40)
A tensão curvará o tubo, como se mostra na figura (41).
(41)
Introduzimos tensões no metal. Esta é a
origem da palavra tensor em matemática, resistência dos materiais e geometria.
O especialista em resistência dos materiais falará em termos de tensor de tensão. O geómetra invocará o tensor de curvatura. O especialista
de relatividade geral aplicará o princípio básico:
conteúdo local de energia-matéria
<-------> geometria local
Naturalmente, este conteúdo local de energia-matéria determina
a geometria local de uma hipersuperfície 4d. Mas a ideia é semelhante.
Como escrever isso? Usando o que os matemáticos chamam tensores.
É difícil ir mais longe nessa direção, sem
desenvolver um curso completo de geometria diferencial. A famosa
equação de Einstein é:
(42)
S = c
T
c é uma simples constante (chamada
constante de Einstein). Depende dos valores de duas outras constantes:
-
A velocidade da luz c.
-
A constante de gravitação G.
através de:
(42bis)
S é um tensor geométrico e toma a seu cargo as
características geométricas.
T é outro tensor, que descreve o conteúdo local
do universo. Neste tensor encontram-se a densidade de matéria r
e a pressão p. São expressas como densidades de energia.
r c2
é uma densidade de energia
Mas p é também uma densidade de energia. Normalmente exprime-se uma
pressão em pascal por metro quadrado. Mas um pascal por metro quadrado é também
um joule por metro cúbico. Uma pressão é basicamente uma densidade volúmica de energia.
Os campos
r (x,y,z) e p
(x,y,z)
para um sistema em estado estacionário, formam a entrada do problema.
A partir destes campos escalares podemos construir o tensor T. Então a questão
torna-se:
- Qual é a geometria que acompanha tal campo tensorial
T (x,y,z), que satisfaz a equação (42)?
Dado o conteúdo local do Universo, o teórico
deve construir a geometria local da hipersuperfície do espaço-tempo. Mas, para quê?
Aqui usa-se a segunda hipótese básica:
- Todos os objetos que compõem o nosso universo seguem
geodésicas da hipersuperfície do espaço-tempo.
Um objeto pode ser uma estrela, um planeta, um átomo, um fotão, uma
partícula elementar.
As partículas vêm da equação de campo? De modo algum. A relatividade geral ignora-as completamente. Para o especialista de relatividade
geral, o universo é um contínuo, nada mais. As funções de entrada
r e p correspondem a
uma descrição macroscópica do universo. O mesmo para a saída: o sistema
geodésico. Para o teórico da relatividade geral, o Universo é uma hipersuperfície,
nada mais. Ele diz:
- Deu-me as funções r (x,y,z)
e p (x,y,z). Construí para si a hipersuperfície adequada, que obedece à equação de campo. Determinei
todos os caminhos possíveis: o sistema geodésico. Mas sou completamente
incapaz de construir partículas para si. Desculpe. Veja noutro departamento.
Resumindo: a ponte entre a relatividade geral e
o mundo das partículas elementares ainda espera o seu construtor.
Mas o astrónomo dirá:
- Quem se importa? Supõe-se que os fotões seguem
geodésicas peculiares desta hipersuperfície. Funciona: posso observar coisas com
dispositivos óticos. Supõe-se também que os planetas seguem outro tipo de geodésicas.
Também funciona. Posso calcular as suas trajetórias, prever a precessão do periélio de Mercúrio. Há também o efeito de lente gravitacional.
Ele tem razão.
Poucas palavras sobre este efeito gravitacional. Antes de mais,
esta imagem do cone rombudo é uma simples imagem didática. Por exemplo, não pode
descrever as trajetórias circulares de um planeta em torno de uma estrela:
(43)
Isto mostra simplesmente o limite das imagens didáticas. Mas podemos
usar este último exemplo para ilustrar o efeito de lente gravitacional, com
duas geodésicas:
(44)
Abaixo, a representação mental, euclidiana do espaço.
Há um efeito de miragem. Em vez de um único objeto, o observador vê duas "miragens
gravitacionais".
