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Formalismo invariante em relação às coordenadas.

Esta é outra palavra-chave da relatividade geral. Dissemos que o trabalho do cosmólogo era equivalente ao que consiste em prever a forma de um material, devido a tensões internas.
Pegue um objeto cuja topologia é a de uma esfera. É uma esfera feita de metal. Aqui também poderíamos moldá-la, com fluxos de ar quente e frio.

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Esses fluxos criam tensão no metal, o que modifica sua forma. É claro que, à medida que o calor se propaga no metal, se pararmos de aquecer e resfriar, a temperatura da esfera volta à uniformidade e seu aspecto torna-se regular novamente.
Criamos tensão no material, o que modifica sua geometria.

Esse campo de tensão pode ser descrito por um objeto matemático chamado tensor T.
A geometria do objeto poderia ser calculada a partir de uma equação de campo, semelhante à equação de Einstein.
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S = a T

onde a é uma constante e S um tensor geométrico, que descreve as características geométricas.
A melhor maneira de "ler" a solução seria calcular o sistema geodésico. Conhecemos as geodésicas da esfera, mas as geodésicas de um ovo são diferentes. Para expressar essas geodésicas precisamos de um sistema de coordenadas. Para uma esfera podemos usar um sistema (q,j):
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Nesse sistema peculiar de coordenadas, a geodésica de uma esfera pode ser expressa em uma forma peculiar. Por exemplo, as curvas:

q = constante (meridianos)

são geodésicas. Mas as curvas

j = constante (paralelos)

não são curvas geodésicas dessa superfície.

Poderíamos definir um sistema semelhante de coordenadas na superfície "ovo". Mas algo é evidente: o sistema geodésico existe independentemente de sua representação matemática (em um dado sistema peculiar de coordenadas).

O sistema geodésico é invariante em relação às coordenadas.

Outro exemplo é muito mais simples. Considere as geodésicas de uma folha plana. Elas são linhas retas. Podemos descrever essas linhas retas em coordenadas cartesianas:
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Também podemos descrever essa família de geodésicas em coordenadas polares. Então as equações são completamente diferentes, mas se referem à mesma família de linhas retas. Essas linhas retas, geodésicas da folha plana, existem independentemente das coordenadas escolhidas. São objetos invariantes em relação às coordenadas.
As equações não são um atributo intrínseco.
É algo que não muda quando passamos de um sistema de coordenadas para outro?
Sim: o caminho geodésico, entre dois pontos M1 e M2, não muda. O mesmo vale para qualquer linha traçada na superfície. A superfície, os pontos, a curva que os une existem independentemente das coordenadas escolhidas. O mesmo vale para o comprimento do caminho entre M1 e M2. Isso também é verdade para um arco geodésico, que é uma linha peculiar que une dois pontos:
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A propósito, esse caminho geodésico também é um caminho extremo (por exemplo, o mais curto, mostrado ali).
Isso é semelhante para a hipersuperfície do espaço-tempo, que possui seu sistema de geodésicas, também invariante em relação às coordenadas. Nessa hipersuperfície existe um comprimento s, que pertence ao objeto e é independente do sistema de coordenadas escolhido.
O ponto difícil é que espaço e tempo não são quantidades independentes. Não vivemos em um espaço 3d, com pontos (x, y, z). Pertencemos a uma hipersuperfície 4d que é totalmente descrita por seu sistema de geodésicas. Considere dois pontos distintos dessa hipersuperfície, M1 e M2.
Tais pontos podem ser descritos em um dado sistema de quatro coordenadas:

M1 ---> (x1 , y1 , z1, t1 )

M2 ---> (x2 , y2 , z2, t2 )

Esses pontos são chamados de eventos. Podemos calcular a curva geodésica que os liga, se houver alguma. Tais eventos não são idênticos. Entre os dois podemos medir uma distância s, que é invariante em relação às coordenadas. Esse comprimento é chamado de:

tempo próprio s

Suponha que você e eu usemos uma nave espacial para viajar de um ponto M1 a outro ponto M2, localizado no espaço-tempo.

s é a medida do tempo em nosso relógio de bordo.

Você argumentará:

• Mas o espaço existe, não?
• Cuidado. Essa definição do que chamamos de espaço e "tempo absoluto" corresponde a uma escolha arbitrária. São apenas uma maneira conveniente de "ler" a superfície, como quando escrevemos a equação de linhas retas, em uma folha plana, em duas equações diferentes. A única coisa que não muda, que é invariante em relação às coordenadas, é o intervalo de tempo próprio Dt entre dois eventos ligados por outro objeto invariante em relação às coordenadas: uma linha geodésica. O chamado "tempo absoluto" t nada mais é do que um marcador cronológico um tanto arbitrário.
  Mudando seu sistema de coordenadas, você muda a leitura dos eventos. Nos artigos que apresentaremos neste site você verá que este é um problema real.
  De qualquer forma, você entende por que físicos e matemáticos escolheram um formalismo invariante em relação às coordenadas, baseado em tensores.

Equações em forma tensorial são invariantes em relação às coordenadas.

Este é o espírito da relatividade geral. Mas, exceto usando hardware sofisticado, é difícil dizer mais sobre isso.