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Inversamente, existem singularidades intrínsecas reais, sobre superfícies.
Elas são verdadeiras singularidades geométricas: (55)
(56)
(57)
E assim por diante...
A propósito, uma dobra é uma região peculiar de uma superfície onde
curvatura linear está concentrada. Na figura (57), à esquerda, temos uma curvatura
linear negativa. À direita, uma curvatura linear positiva.
Usamos em cada sub-figura duas porções de uma esfera. O
objeto global tem a mesma topologia que a esfera, o que significa que sua curvatura
angular total é 4p
.
Suponha que o objeto à esquerda fosse construído com duas porções
de esferas contendo, cada uma, uma curvatura angular de 3p.
3p +
3p = 6p
Isso é demais. Então a curvatura linear (negativa)
deve equilibrar isso, a fim de dar o valor final requerido 4p
:
Como conclusão, nossa dobra contém uma curvatura negativa
:
- 2p
.
Essa curvatura é uniformemente distribuída ao longo da curva
circular, ao longo da dobra.
Volte às figuras (57). Traçamos triângulos,
construídos com linhas geodésicas. Mas você pode atravessar uma dobra sem qualquer problema
com uma fita adesiva (estreita). Você sabe como calcular, prever a soma dos
três ângulos do triângulo. Você só precisa comparar a área do
triângulo com a área da esfera. O excesso de curvatura é:
(58)
Mas você tem que levar em conta a curvatura (negativa ou positiva)
contida na porção da dobra, no arco mn. Ela é:
(59)
Suponha que uma espécie de lente, à direita da figura (57), seja
construída a partir de duas porções de uma esfera, cada uma contendo uma curvatura
angular p. Portanto, se esquecermos a dobra, esse conjunto de duas porções
de uma esfera contém uma curvatura angular 2p
. Mas essa lente tem uma topologia esferoidal. A contribuição de curvatura
angular deve ser 2p.
Então:
2p +
2p = 4p
( curvatura total da esfera )
Você também pode prever a soma deste estranho triângulo,
formado por três linhas geodésicas. O arco mn contém a curvatura angular linear
:
(60)
Ao medir a quantidade de curvatura angular contida
na dobra, dentro do triângulo, pode-se dimensionar o desvio da soma
euclidiana, que é p .
Você vê que pode lidar com esses problemas de curvatura,
sobre superfícies, relativamente facilmente.
Uma superfície pode possuir pontos cônicos, ou linhas de dobra. Eles
são singularidades intrínsecas, não essas singularidades artificiais, devidas a alguma
escolha de coordenadas. Note que podemos suavizar a dobra. Então obtemos um amendoim
:
(61)
Isso é semelhante a suavizar o cume pontual de
um cone (curvatura angular concentrada), transformando o objeto em um cone
obtuso (curvatura angular exibida em uma porção de uma esfera).
Suponha que as duas porções de esfera, acima, na figura (61)
representem 2/3 de uma esfera, cada, isto é, uma curvatura
(62)
A porção cinza do "amendoim" contém curvatura negativa.
Precisamente:
(63)
