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Espaço representativo.

Vimos, numa secção anterior, que um cilindro pode ser achatado. Agora, pegue num pedaço de papel, uma folha plana. É uma superfície euclidiana. Pode desenhar geodésicas nela. Agora amachuque-a.
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Se pudesse tornar esta superfície amachucada rígida e desenhar geodésicas nela, com fita adesiva, voltaria a encontrar o mesmo sistema! A superfície não mudou realmente. Se algum habitante vive numa tal "terraplanagem", ele talvez não consiga perceber o processo de amachucamento. Tudo permaneceria normal para ele, tal como a vida é para ele hoje: seguindo geodésicas da sua superfície espácio-temporal 2D, por exemplo.

Ao amachucar a folha, apenas modificou o sistema representativo, a forma como a superfície 2D está imersa no espaço euclidiano 3D.

Uma modificação mais simples é transformar uma folha plana de metal numa superfície ondulada. Ver figura (65)
(65)

Há muitos anos estive num grande mercado de Adis Abeba, Etiópia. Aí, o metal é raro. Encontram-se fábricas onde jovens transformam superfícies de ferro ondulado em placas planas, usando um simples martelo. Se um deles tivesse desenhado uma geodésica antes da operação, teríamos verificado que o sistema de geodésicas permaneceria inalterado.

Mas, para dizer a verdade, não estou realmente seguro de que este tipo de sujeito saiba o que é uma geodésica, do ponto de vista matemático, claro. Qualquer pessoa que constrói cestos usa linhas geodésicas, naturalmente.

Lembro-me de ter sido professor de cestaria, num campo de férias, perto de Burlington e do lago Champlain, Vermont... há muitos anos.

Tenha em mente que os objetos geométricos têm a sua própria existência e propriedades, que são independentes da forma como os imagina, num espaço de maior número de dimensões. Amachucada ou não, uma folha é uma folha, isto é, uma superfície euclidiana.

Supõe-se que vivemos numa hipersuperfície 4D. Aliás, todos supomos viver o mesmo. Mas a minha mulher Claire, que é uma pessoa muito encantadora, está convencida de que eu vivo num espaço de dimensões superiores (cinco, ela pensa). Isso induz, por vezes, algumas dificuldades de comunicação quando estou algures na minha quinta dimensão pessoal.

Mas será que as fêmeas vivem realmente numa hipersuperfície 4D? Por vezes sou cético quanto a isso, mas é outro assunto.

Admita que vive numa hipersuperfície 4D e siga as geodésicas deste espaço-tempo, que segue como um boi seguindo o seu sulco.

Agora suponha que é Deus. Quer uma representação completa desta hipersuperfície 4D. Então precisa de pelo menos mais uma dimensão. Pessoalmente, penso que, se Deus existe, deve viver num hiper-mundo de dez dimensões. Os argumentos subsequentes serão desenvolvidos em Física Geométrica B, e vêm da teoria de grupos.

Será que Deus possui uma estrutura de grupo?

Na prática, o especialista de relatividade geral calcula uma solução de uma equação de campo (solução de Einstein). Depois examina o sistema de geodésicas. São "linhas retas 4D". No espaço-tempo, ao seguir geodésicas, a ordem geral é:

• Vá em frente! Não vire à esquerda nem à direita.

Obedece, simplesmente porque não pode fazer outra coisa. Virar é um disparate, no espaço-tempo. Tudo, todos "vão em frente".

Mas as coisas, os caminhos, as trajetórias, parecem curvos aos nossos olhos 3D. Lemo-lo na nossa representação mental do espaço. Enfrentamos a parede da caverna de Platão, olhando para sombras 3D dançantes.

Voltemos à nossa imagem didática 2D, ao cone truncado. Supõe-se que figura o espaço na vizinhança de uma concentração de massa (área cinzenta). Assumimos que corresponde a um estado estacionário.

Podemos usar coordenadas esféricas (r, q, j) como marcadores espaciais (em 3D). Em 2D temos apenas duas: (r, q).

Podemos então projetar a figura num plano e usar o mesmo conjunto de coordenadas polares. Ver figura seguinte.

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Como dito acima, a superfície do cone truncado é um modelo didático grosseiro, sugerindo uma solução peculiar da equação de campo de Einstein

(67)

S = c T

construída em 1917 por Schwarzschild. É um trabalho brilhante e engenhoso. Só para dizer que, naquele tempo, Albert não era um génio solitário, perdido numa ilha deserta. Muitas pessoas pensam que o grande matemático alemão Hilbert inventou a "equação de Einstein". Alguns outros sugeriram que a senhora Einstein poderia ter contribuído eficazmente para a construção da relatividade especial, que decorre naturalmente dos trabalhos de Poincaré e Lorentz (se olhar para os trabalhos de Einstein, verá que ele raramente menciona outras pessoas).

A solução de Schwarzschild é um marco da relatividade geral. Usa-se para calcular as trajetórias relativistas de planetas em torno do sol, evidenciando a precessão do periélio de Mercúrio.

Qualquer um diria imediatamente:

• Porque é que Schwarzschild não calculou isso ele próprio?

Havia uma muito boa razão para isso: ele estava morto.

Schwarzschild era um patriota e insistiu em ir para a frente, em 1917. Aí foi gaseado e morreu mais tarde. Einstein continuou o trabalho, que se tornou "a teoria de Einstein".

Era uma solução de estado estacionário. Mais tarde Einstein tentou construir um modelo do universo, onde a curvatura pudesse ser identificada com o conteúdo de energia-matéria. Mas, naquele tempo, ninguém sabia que o universo era não-estacionário. Albert tentou construir um modelo de estado estacionário, mas as coisas não correram tão bem. Então visitou Elie Cartan, um grande matemático francês, que recomendou adicionar uma constante à equação de campo, o que Einstein fez.

Então um piloto de planador russo chamado Friedmann inventou uma solução não-estacionária. Por volta do mesmo período Edwin Hubble descobriu o desvio para o vermelho e as características não-estacionárias do Universo. Einstein ficou muito desapontado e disse:

• Se eu soubesse que o Universo era não-estacionário, teria encontrado a solução antes de Friedmann!

Se, costumavam dizer os lacedemónios.

Mas essa história não terminou aí. Inicialmente, Friedmann tinha construído a solução cíclica, uma das três que compõem os "modelos de Friedmann".

Einstein manteve-se silencioso durante anos. Depois, após a morte de Friedmann, publicou o "modelo de Einstein-de Sitter", "a solução parabólica de Friedmann".

Mais tarde um jovem investigador polaco chamado Kaluza submeteu um artigo ao "Professor Einstein", que se recusou a publicá-lo por mais de um ano. Kaluza queixou-se a Einstein, que respondeu:

• Deveria olhar mais de perto para esta teoria. Estou cético.....

Muitos anos mais tarde, a ideia de Kaluza (adicionar uma quinta dimensão ao espaço-tempo) tornou-se o ponto de partida de trabalhos avançados (incluindo a abordagem das supercordas). Ver Física Geométrica B.

Bem, Albert não era assim tão desportivo......

Voltemos ao modelo 3D de estado estacionário correspondente à geometria do espaço-tempo em torno do sol. O cálculo dá geodésicas localizadas em planos. Se o efeito de curvatura for moderado, e a velocidade pequena em relação à velocidade da luz c, a sua projeção, num espaço-tempo euclidiano representativo, corresponde a caminhos quase keplerianos e às leis de Kepler. Podemos esquecer o tempo e figurar estas geodésicas em planos, usando coordenadas polares.

r = f (q).

Na solução de Schwarzschild, há, de facto, duas "soluções métricas" ligadas, como evocado na figura (68). Dentro do "corpo massivo" a densidade de massa r supõe-se constante. Aí o tensor de energia-matéria T é não nulo. Mas, fora, r e T são nulos.

(68)

Esta é uma geometria compósita. Em 3D a densidade de massa mostra uma descontinuidade abrupta na superfície (suposta ser uma esfera) da "concentração de massa". Isto é semelhante à descontinuidade da densidade de curvatura angular na superfície (não nula na área cinzenta, nula fora. A fronteira torna-se uma esfera S1, isto é, um ... círculo).

Em 4D a ligação matemática pode ser construída, de modo a assegurar a continuidade das linhas geodésicas. Isto é semelhante à porção de ligação de uma porção de esfera-porção de um posicone.

Quando a massa se torna importante (o que não pode ser descrito pelo nosso modelo didático 2D grosseiro) os caminhos fechados deixam de ser elípticos.

Ver figura (69). Este desenho corresponde à trajetória de uma nave espacial em torno de uma estrela de neutrões.

A trajetória de Mercúrio em torno do sol é semelhante mas a precessão do periélio dos caminhos elípticos é de 0,15° por século.

(69)

Algum dia incluiremos as fórmulas e o programa que torna possível brincar com esse problema. Não é muito difícil.

Alguma informação matemática no fim desta página e na seguinte, se quiser pode ir diretamente para a página 13