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Contexto geométrico.

Uma esfera é um objeto geométrico bidimensional. Precisamos de duas quantidades, dois números, dois escalares, para localizar um ponto nela.

Uma esfera é uma superfície que possui uma topologia. Sua topologia é diferente da do toro.

Ambas possuem sistemas geodésicos. Como apontado em uma seção anterior, podemos imaginar dois pontos distintos M1 e M2 em uma esfera e uma curva que os liga. Então podemos medir o comprimento ao longo desse caminho peculiar. É uma quantidade invariante por coordenadas. Uma esfera S2 existe independentemente de qualquer espaço representativo tridimensional. Mas podemos imaginá-la em nosso familiar espaço euclidiano tridimensional, no qual supõe-se que vivemos. Então podemos dar um centro a essa esfera e unir todos os seus pontos a ele. Veja a figura (116). Cada ponto corresponde a dois ângulos: q e j.
(116)

Fizemos um buraco na esfera para mostrar os vetores OM, onde O é o centro e M um ponto da esfera.

Agora, a figura (117) mantém os vetores e esquece a esfera.

(117)

Essas semirretas são infinitas, mas as representamos cortadas, em um comprimento dado, correspondente ao raio R de nossa esfera. Cada reta corresponde a um par (q, j). A estrutura métrica desapareceu. Sem geodésicas, sem comprimento. O que resta?

Qualquer uma dessas semirretas tem vizinhas, que formam sua vizinhança. Cada semirreta poderia ser representada como encerrada em uma sucessão de cones (figura (118)).

(118)

Ao redor de qualquer reta podemos colocar quantas retas de cones quisermos. Entre dois desses cones sempre podemos colocar outro. Isso sugere intuitivamente o conceito de diferenciabilidade. Em tal objeto geométrico não há descontinuidade.

Agora, esqueça a esfera e tome uma superfície plana. É um conjunto de pontos. Qualquer que seja o sistema de coordenadas que eu escolha, posso definir os pontos com duas quantidades: (x,y), (r,q), e assim por diante.

Um par de números reais. Estes são escolhidos em R2, isto é, no conjunto dos números reais, como (3,8705 , - 17,56).

Qualquer par de números reais (x ; y) possui um número infinito de vizinhos (x + Dx ; y + Dy).

Esses objetos "pré-métricos" são chamados pelos matemáticos de variedades.

É bastante difícil pensar em um meio tão "flexível". Em (119) representamos uma superfície plana rígida, com propriedades métricas e, abaixo, a sombra de seus pontos.

(119)

Uma sombra não tem forma própria, nem extensão. Depende da tela e da produção dos raios de luz. Na figura (120) sugerimos a relatividade da sombra em relação ao objeto.

(120)

Essas "linhas paralelas" são semelhantes àqueles raios que introduzimos, para ligar os pontos de uma esfera ao seu centro. Aqui os pontos do plano estão "ligados" a uma "fonte" que está no infinito.

Abandone esta última ideia de retas. Considere um feixe de espaguete cozido (se não estiverem, deveriam ser rígidos e quebráveis). Podemos dobrá-lo. Mas impomos que o espaguete permaneça unido. Sua vizinhança não deve ser modificada.

(121)

Tudo isso é muito grosseiro, eu sei, e não totalmente rigoroso. Apenas tento sugerir ao leitor o que pode ser uma variedade, um objeto geométrico sem métrica, onde a propriedade principal é que qualquer ponto tem vizinhos.

Uma variedade é um conjunto de pontos m. Posso imaginar que associo qualquer ponto de uma variedade a um par (M1 , M2) de pontos, que pertencem a superfícies reais, que possuem propriedades métricas, comprimento, e assim por diante....

Chamo a variedade n-dimensional de variedade-esqueleto e as superfícies n-dimensionais associadas simplesmente de folhas. Então construo a

cobertura dupla de uma variedade.

Na figura (122) a cobertura dupla de uma variedade m2 (duas dimensões).

(122)

Em (122) representei folhas euclidianas idênticas e paralelas (planos) com as mesmas métricas. Mas posso construir a figura (123):

Chamaremos M e M* de pontos conjugados. Construir essas duas folhas a partir de uma "variedade-esqueleto" tem um significado definido: a qualquer ponto M da folha F podemos associar um e apenas um ponto conjugado M*. Há um mapeamento ponto a ponto. Então podemos esquecer a variedade-esqueleto.

À vizinhança de qualquer ponto da folha F corresponde a vizinhança de seu ponto conjugado M*. Veja a figura (124). Isso significa que a qualquer região regular de F corresponde uma região regular conjugada que pertence a F*.
(124)

Isso mostra em particular que os pontos conjugados M e M* são descritos pelo mesmo conjunto de coordenadas.