a123

Curvaturas conjugadas.

Como podemos compreender espaços tridimensionais, com curvatura local positiva ou negativa?

Comecemos com superfícies bidimensionais. Consideremos uma esfera e fixemos um prego em algum lugar sobre ela, como mostrado na figura (125). Fixemos um barbante, cujo comprimento é L, unindo o prego e um lápis. Podemos usar isto para desenhar um círculo, um paralelo da esfera. Um paralelo de uma esfera é o conjunto dos pontos que se encontram à mesma distância L de um dado ponto S.

Podemos realizar operações semelhantes (figuras (125):

• Sobre uma sela de cavalo

• Sobre um plano.
  (125)

Sobre a superfície plana o perímetro é 2 p L enquanto a superfície do disco é p L2.

Sobre a esfera o perímetro e a área do disco são menores. Sobre a sela de cavalo, ao contrário, eles são maiores.

Consideremos uma esfera e um paralelo que se identifica com o seu equador. Veja a figura (126). Os valores correspondem à figura (126)

(126)

A área do disco é 3,875 vezes maior que a correspondente porção (cinza) da esfera. Seu perímetro é 1,57 vezes maior que o comprimento do equador.

Testes semelhantes mostrariam a curvatura negativa da sela de cavalo. Se desenharmos uma curva fechada, conjunto de pontos à mesma distância L de um dado ponto, sobre uma sela de cavalo, a superfície deste disco de curvatura negativa é maior que a superfície de um disco plano p L2. Da mesma forma o perímetro do disco de curvatura negativa é maior que o do disco plano: 2 p L.

A geometria é uma ciência para cegos. Os geômetras tentam construir testes que os habitantes de um dado espaço poderiam operar a fim de descobrir por si mesmos as suas propriedades geométricas. A partir das figuras precedentes, os habitantes de uma superfície bidimensional, incapazes de vê-la de um ponto de vista externo (pois vivem nela) poderiam descobrir, através de medições de área e de comprimento, se a porção de superfície em que vivem possui uma curvatura local positiva, uma curvatura local negativa, ou uma curvatura local nula (espaço euclidiano).

Note que há superfícies cuja curvatura local pode ser positiva, nula ou negativa. Exemplo: um toro.

(126ter)

Métodos semelhantes se aplicam a espaços tridimensionais. Escolha um ponto O, em algum lugar. Pegue um barbante, um "lápis", e use-o para desenhar o conjunto dos pontos localizados a uma dada distância L do ponto considerado. Você obtém uma esfera e pode medir sua área. Se esta superfície foi construída em um espaço tridimensional euclidiano, esta área será: 4 p L2.

Se esta área for encontrada menor, significa que este espaço tridimensional não é euclidiano. É um espaço tridimensional riemanniano, com curvatura positiva. Se medirmos o volume o encontraremos menor que:

(127)

A situação será invertida se lidarmos com um espaço tridimensional de curvatura negativa. A área da esfera, considerada como o conjunto de pontos localizados a uma dada distância L de um ponto fixo O será maior que 4 p L2. O volume, no interior dessa superfície fechada, será maior que (127).

A cosmologia não se funda em espaços tridimensionais simples, mas em hipersuperfícies quadridimensionais (com "assinatura hiperbólica") de modo que tal apresentação é limitada. Devemos considerá-la como um modelo didático grosseiro.

A curvatura escalar de Riemann de um espaço n-dimensional é algo diferente.

Em nosso presente modelo cosmológico, assumiremos que a curvatura escalar riemanniana local, em pontos conjugados (M, M*) são opostas: (127bis)

R* = - R

O especialista encontrará mais detalhes no artigo:

J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost matter astrophysics.
2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics
A, 5, março de 1998.

A seguir, uma útil imagem didática bidimensional, que corresponde à figura 39.

(128)

Acima: um posicone suavizado. Curvatura local (angular) nula na porção do posicone. Densidade de curvatura (angular) positiva constante na porção (cinza) de uma esfera.

Abaixo: um "negacone suavizado". Densidade de curvatura local (angular) nula na porção do negacone que circunda a sela de cavalo. Densidade de curvatura (angular) negativa constante na porção da sela de cavalo, defrontando a porção de uma esfera.

As curvaturas são conjugadas. Frente a frente, com correspondência ponto a ponto, porções de curvatura local nula do posicone e do negacone.

Frente a frente, com correspondência ponto a ponto, uma superfície de curvatura positiva constante (uma porção de uma esfera) e uma superfície de curvatura negativa (sela de cavalo). As densidades de curvatura são iguais e opostas. As bordas circulares estão ligadas, ponto a ponto.

Esta é uma imagem didática do nosso modelo cosmológico. Para mais detalhes matemáticos, veja:
J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost-matter astrophysics.
1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation.
Geometrical Physics A, 4, março de 1998.