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Noção de geodésica.
...Em tudo o que se segue, trataremos apenas de superfícies de duas dimensões. Seria preferível que o leitor se munisse de algum material antes de iniciar esta leitura. De fato, há coisas que "se compreendem com as mãos", realizando experiências. É necessário, portanto:
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Folhas de papel cartão ou papel um pouco mais grosso.
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Uma fita adesiva, preferencialmente colorida.
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Tesouras.
...No comércio encontram-se fitas de "fitilho adesivo" especialmente convenientes, que têm a vantagem de poderem ser desenroladas em tiras de larguras quaisquer.
...Pegue uma superfície, por exemplo a carroceria do seu carro. Você pode colar uma fita sobre ela, ajustando para que ela não se dobre, permanecendo sempre completamente aderida ao suporte. Ao fazer isso, traçará geodésicas da "superfície-carro".
...Se você fizer essa operação sobre uma superfície plana, obterá... retas. As retas são as geodésicas do plano.
...Com três geodésicas você poderá traçar um triângulo sobre este plano, "superfície euclidiana", a soma dos ângulos deste triângulo valendo 180°.
Os posicônes.
Vamos agora fabricar um "posicône". Para isso, faça um corte de um ângulo q e recoloque a superfície conforme indicado.
...Trace dois triângulos geodésicos, com a fita adesiva, um deles sendo externo ao vértice S deste posicône e o outro contendo esse vértice S. Meça a soma dos ângulos do triângulo. Observa-se então que a soma dos ângulos do triângulo que não contém o vértice permanece igual a 180°, enquanto a do outro triângulo vale 180° + q.
Para verificar, bastaria abrir novamente este "posicône" e colocá-lo plano. Então obteríamos o seguinte:
...Pode-se então verificar facilmente que as retas AH e H'B formam um ângulo q. Como se poderia constatar "experimentalmente", as geodésicas do cone, ao serem colocadas planas, tornam-se retas do plano, o que significa simplesmente que o cone é uma superfície desenvolvível. O mesmo vale para um cilindro.
...Uma superfície desenvolvível é também uma superfície que pode ser rolando sobre um plano (com algumas precauções, para superfícies desenvolvíveis com curvatura negativa, como veremos mais adiante).
...Se traçarmos uma geodésica sobre um cone ou um cilindro, com tinta gordurosa, podemos usar esta "matriz" para "imprimir" sobre um plano, obtendo assim uma reta. E, inversamente, se inscrevermos uma reta com tinta gordurosa sobre um plano e a "imprimirmos" sobre um cone ou um cilindro, fazendo rolar esses objetos sobre o plano, a impressão produzirá... geodésicas.
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