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Curvatura (positiva).
...Quando traçamos nosso triângulo, formado por linhas geodésicas, sobre um plano, a soma de seus ângulos nos vértices era igual a π. Um plano... é uma superfície plana, "não curva", euclidiana. Assim, a soma dos ângulos desse triângulo é a soma euclidiana. Na experiência anterior, vimos que, se um triângulo não contivesse o vértice de nosso cone, a soma permanecia euclidiana. Por outro lado, quando o triângulo contém o vértice S, então essa soma apresenta um excesso q, independentemente do triângulo, desde que contenha esse ponto. Diremos que o vértice do cone é um ponto de curvatura concentrada.
...Agora podemos passar a outras experiências. Após fabricar dois cones, com cortes q1 e q2, podemos colar esses dois elementos de superfície um ao outro.
...Uma maneira mais simples de proceder consiste em fazer duas cortes em uma folha de cartolina e fabricar a seguinte superfície:
Você poderá então traçar sobre essa superfície tantos triângulos geodésicos quantos desejar:
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Não envolvendo nem S1 nem S2: soma dos ângulos: π
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Envolvendo apenas S1: soma dos ângulos: π + q1
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Envolvendo apenas S2: soma dos ângulos: π + q2
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Envolvendo ambos os pontos S1 e S2: soma dos ângulos: π + q1 + q2
...É fácil imaginar que possamos fabricar um grande número de pequenos cones com ângulo Δq pequeno e colá-los uns aos outros. Poderíamos até conseguir que houvesse uma densidade constante de curvatura por unidade de área, considerando essa curvatura como a soma dos Δq associados a cada vértice desses pequenos cones.
...Ao tornar esses pequenos cones cada vez menores (assim como o ângulo elementar Δq associado a eles), podemos utilizar isso para construir uma porção de superfície com densidade de curvatura constante.
A esfera é uma superfície com densidade de curvatura constante. Diremos mais simplesmente com curvatura local constante.
Um ovo é uma superfície curva, com densidade de curvatura variável. Diremos mais simplesmente com curvatura local variável.
...A Relatividade Geral consiste em identificar a densidade de massa ρ e a curvatura local. É claro que a Relatividade Geral não trata de superfícies de duas dimensões, nem mesmo de três, mas de hipersuperfícies de quatro dimensões. Assim, não devemos exigir muito do que foi exposto anteriormente, e devemos considerar essas figuras apenas como imagens didáticas, destinadas a fixar as ideias. Mas elas não são tão ruins assim.
Imagem didática 2D de um astro.
Um astro, como o Sol, é uma concentração de matéria, cercado, se não de vácuo, pelo menos de um quase-vácuo (ou seja, de uma região com curvatura muito fraca). Em duas dimensões, a imagem didática será a de um cone arredondado.
...Um cone arredondado é fabricado com dois elementos: uma calota esférica, com curvatura constante (ou com "densidade de curvatura constante") e um tronco de cone. Esse tronco de cone é "plano", sua densidade de curvatura é nula. É uma superfície euclidiana. É a imagem didática 2D de um astro com densidade de massa ρ constante.
...Enquanto isso, poderíamos nos perguntar como unir perfeitamente um tronco de cone e uma calota esférica, de modo que o plano tangente seja contínuo.
...É simples. O tronco de cone é fabricado a partir de um cone, o qual implica um corte de um ângulo q. A calota esférica contém uma certa "quantidade de curvatura", que também é um ângulo. É a soma de todos os ângulos dos pequenos cones que a compõem. É necessário que esses dois ângulos sejam iguais.
Mas como avaliar a quantidade de curvatura contida em uma calota esférica dada?
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