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Curvatura total.
** **...Podemos construir uma esfera juntando mini-posicônes. Mas, durante essa operação, essa superfície com curvatura (ou densidade de curvatura ou curvatura local) constante vai se fechar. Logo, contém uma certa curvatura, mas qual?
...Se traçarmos um triângulo geodésico sobre uma esfera, ele envolverá um certo número de mini-posicônes, uma certa "quantidade de curvatura", que é um ângulo. Essa quantidade será simplesmente proporcional à área do triângulo, ou mais precisamente à razão entre a área s do triângulo e a área S da esfera.
...Mas vimos anteriormente que, ao traçarmos um triângulo geodésico sobre uma superfície feita de posicônes unidas, a diferença em relação à soma euclidiana era igual à soma das curvaturas concentradas associadas a cada vértice de cones contidos em nosso triângulo. Basta, portanto, medir a soma dos ângulos a, b, g do triângulo acima, feito a partir de três arcos geodésicos da esfera, para obter uma medida da quantidade de curvatura angular contida nesse triângulo. As geodésicas da esfera são seus "grandes círculos".
...Cortemos nossa esfera em oito partes iguais. Obteremos oito triângulos formados por arcos geodésicos, cujos três ângulos serão retos.
...Cada um desses triângulos contém, portanto, uma curvatura igual a π/2. Como há oito, a curvatura total da esfera vale, portanto, 4π.
...Essa pequena observação para mostrar que podemos construir resultados geométricos com raciocínios extremamente simples.
...Voltando ao tema do cone arredondado, vemos que a lateral do objeto depende da quantidade de curvatura "contida dentro", essa curvatura podendo ser pontual (ponto cônico) ou distribuída sobre uma calota esférica. Podemos fazer a calota tender a um ponto, reduzindo-a de maneira homotética (de forma que ela continue contendo a mesma "quantidade de curvatura").
Trajetórias.
...Na Relatividade Geral, a ideia principal é simples: considerar as trajetórias dos objetos, partículas, fótons ou da matéria como geodésicas. É claro que são geodésicas de uma hipersuperfície de quatro dimensões. Assim, aqui também temos apenas imagens didáticas.
Se tomarmos nosso cone arredondado, podemos traçar geodésicas sobre ele e projetá-las em um plano.
...Todas as partículas seguem geodésicas da hipersuperfície: partículas de matéria, mas também fótons e neutrinos. É por isso que nos divertimos em representar uma geodésica que atravessa completamente o objeto. Um neutrino pode atravessar o Sol sem problemas.
...Mas qual é esse plano sobre o qual projetamos essas geodésicas? É a maneira como representamos o espaço. Nosso "universo mental" é completamente euclidiano e nossa mente "plana". Quando vemos um cometa passar perto do Sol, nunca nos ocorre que, na verdade, ele vai "em linha reta", ou seja, segue uma geodésica da hipersuperfície. Nossa percepção do mundo é a figura 24', onde um astro "atrai" os objetos que passam por seu entorno.
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