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Geometrias conjugadas.
...Vamos então associar um "cone obtuso" e um "cone negativo obtuso", com as mesmas quantidades de curvatura, mas de sinal oposto: +q e -q. Podemos colocá-los frente a frente (criando, ao mesmo tempo, uma "aplicação ponto a ponto": biunívoca, injetiva). Há então duas folhas. Chamemo-las F e F*. A todo ponto de F corresponde um ponto de F*.
...Organizemos para que os contornos circulares das "partes obtusas", portadoras de curvatura (positiva em uma folha, negativa na outra), correspondam ponto a ponto. Ilustramos isso projetando tudo em um plano. Obtemos duas superfícies com curvaturas conjugadas.
...Os flancos cônicos são "não curvos", são elementos de superfícies euclidianas. Diz-se que, em todo ponto dessas superfícies, a curvatura local é nula. A calota esférica e a sela de cavalo correspondem ponto a ponto. Suas curvaturas são opostas.
A Relatividade Geral.
...O ponto de partida é a ideia de que a geometria do cosmos é determinada por seu conteúdo em "energia-matéria". Note-se que se emprega o termo energia-matéria e não apenas matéria, o que mostra claramente que todo conteúdo cósmico exerce influência sobre a geometria, inclusive a radiação, os fótons (ou neutrinos). Vimos acima que um fóton cria uma pequena curvatura positiva no espaço.
...Vamos primeiro raciocinar em regime estacionário. Uma superfície plana, livre, é uma superfície onde a tensão é nula. Pode-se modificar sua geometria criando tensões, positivas ou negativas (o sinal é uma questão de convenções). Se, por exemplo, aquecermos uma película plástica, poderemos fazer surgir uma protuberância, isto é, uma região com curvatura positiva.
...Também posso colocar sobre uma folha de papel um produto que, ao secar, se contrai. A tensão fará surgir uma região com curvatura negativa.
...Um ferreiro sabe manipular essas tensões para deformar uma chapa. Tomemos, por exemplo, um tubo metálico. Aqueço um lado e resfrio o outro. O que vai acontecer?
O tubo vai se curvar, a parte aquecida se expandindo e a parte resfriada se contraindo.
...Ao fazer isso, criamos tensões no metal. É a origem da palavra tensor, em matemática e geometria. O especialista em resistência de materiais falará de tensor das tensões. O geométrico falará de tensor de curvatura.
A pequena experiência acima ilustra a ideia:
Conteúdo local em energia -----> geometria local
...Na Relatividade Geral, faz-se o mesmo. A diferença é que esse conteúdo local em energia-matéria determina a geometria de uma hipersuperfície de quatro dimensões e não, como aqui, a geometria de uma superfície de duas dimensões. Mas a ideia é semelhante.
...O matemático então utilizará uma notação tensorial. Não se pode dizer mais aqui para um não-matemático. Mas o tensor de Einstein S (usaremos letras em negrito) corresponde ao aspecto geometria. Na equação de Einstein, identificamo-lo a outro tensor T, que descreve o conteúdo em energia-matéria, até uma constante multiplicativa, a "constante de Einstein c".
A famosa equação de Einstein é então escrita:
**S **= c T
...No tensor T intervêm a densidade volumétrica r e a pressão p (na verdade, o tensor T mais geral é mais complexo, mas nos contentaremos com esta expressão usual). Em uma configuração estacionária, daremos então uma certa distribuição de densidade e pressão r(x,y,z), p(x,y,z). Com isso, sabemos construir o tensor T, que contém assim todas as informações do problema. A questão é então: "qual é a geometria que corresponde a este tensor T, satisfazendo a equação acima?"
...Ou seja, o físico, conhecendo o conteúdo local do universo, busca determinar a geometria da hipersuperfície cósmica.
Dizer geometria é dizer geodésicas. É aqui que entra a segunda hipótese da Relatividade Geral:
Supõe-se que os objetos que se movem no universo
seguem geodésicas da hipersuperfície espaço-tempo.
Por objeto entende-se partículas (partículas chamadas elementares, fótons, neutrinos), mas também planetas, estrelas, etc.
Neste ponto, uma observação: onde estão as partículas nesta questão toda?
...Resposta: o especialista em Relatividade Geral trabalha no macroscópico. As funções de entrada do problema, a densidade volumétrica r e a pressão p, correspondem a uma descrição macroscópica do conteúdo cósmico. O mesmo vale para a "saída". E o geométrico acrescenta:
- Você me deu funções r(x,y,z) e p(x,y,z), construí para você a hipersuperfície correspondente, com suas famílias de geodésicas. Mas não posso ir além. Em especial, não sou capaz de fabricar partículas, átomos, etc. Para isso, procure outro serviço...
Claramente: a ponte entre a Relatividade Geral e a física de partículas ainda não foi construída.
Mas o astrônomo dirá:
- Que importa. Essa hipótese de que os fótons seguem certas geodésicas dessa hipersuperfície funciona. A prova: posso fazer observações. Se assumirmos que os planetas, considerados como massas pontuais, também seguem geodésicas dessa hipersuperfície, posso construir suas trajetórias. Há também os efeitos de lente gravitacional...
Ele tem razão.
...Esses efeitos de lente gravitacional, digamos algumas palavras sobre eles. É claro que esta imagem do cone obtuso é apenas uma ilustração didática. Um planeta que orbita circularmente em torno de uma estrela também segue uma geodésica do espaço-tempo. Porém, um círculo traçado sobre um cone obtuso não é uma geodésica:
Isso mostra apenas os limites das ilustrações didáticas, ainda que geométricas.
...Os fótons realmente seguem geodésicas da hipersuperfície espaço-tempo. Pode-se usar esta imagem do cone obtuso para ilustrá-lo. Os raios luminosos podem passar de um lado e do outro de um objeto massivo, depois convergir para o observador. Se projetarmos essas geodésicas, obteremos um efeito de miragem: o observador terá a impressão de ver duas fontes em vez de uma:
../../../bons_commande/bon_global.htm
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