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Invariância por mudança de coordenadas.
...Esse é um conceito-chave da Relatividade Geral, que não é fácil de apresentar. Dissemos que procurar uma "solução cosmológica", estacionária ou não estacionária, equivale a construir uma hipersuperfície de quatro dimensões que seja "solução da equação de campo".
...Por exemplo, considere um objeto de chapa com topologia esférica. É "uma esfera de chapa". Novamente, é fácil imaginar que possamos deformar essa superfície aquecendo e resfriando locais específicos. Por exemplo, aquecendo em um ponto e resfriando a região antípoda transformaríamos essa esfera em um ovo. Um ovo é um objeto com topologia esférica, mas com curvatura variável.
...Aquecendo em um lugar e resfriando em outro, criaremos tensões no metal. É claro que, como esse material é condutor, se deixássemos de aquecer e resfriar, a temperatura se tornaria homogênea e o objeto retornaria à sua forma esférica. O que importa é que conseguimos criar uma situação estacionária com um campo de temperatura não uniforme. Esse campo gera tensões, e poderíamos concretizar essas tensões na forma de um objeto matemático T, chamado tensor.
Algo descreve a geometria do objeto. Isso se chama uma métrica. A partir desse segundo objeto matemático, podemos:
- Calcular o tensor geométrico S;
- Calcular as geodésicas da superfície.
A geometria dessa superfície poderia ser calculada a partir de uma equação análoga à equação de Einstein, do tipo:
S = a T
onde a é uma constante. Conhecendo a priori o campo de temperatura na chapa, ou seja, o tensor das tensões, poderíamos deduzir sua geometria. A melhor maneira de "ler" essa geometria seria analisar o sistema das geodésicas. Conhecemos as da esfera (seus "grandes círculos"). As geodésicas de um ovo são diferentes.
...Para descrever essas geodésicas, precisaremos definir um sistema de coordenadas sobre a superfície. Para a esfera, podemos usar o sistema clássico azimute-altitude.
...Nesse sistema de coordenadas particular, as geodésicas da esfera corresponderiam a certas equações.
Nessa esfera, as curvas q = constante representam a família de geodésicas que passam por dois pontos. Por outro lado, as curvas j = constante (paralelos) não são geodésicas da superfície.
...Também poderíamos definir um sistema de coordenadas análogo e escrever as equações das geodésicas da superfície "ovo". Mas logo notamos uma coisa essencial: as geodésicas da superfície são independentes das coordenadas escolhidas para descrevê-las, assim como os pontos de uma esfera ou de um ovo existem independentemente do sistema de coordenadas usado para localizá-los.
...Da mesma forma, em um plano, podemos representar pontos em coordenadas cartesianas ou polares. As retas do plano são geodésicas.
Uma reta pode ser descrita em dois sistemas de coordenadas:
...Trata-se da mesma geodésica, com duas descrições totalmente diferentes. As retas do plano existem independentemente da maneira como são descritas, do escolha das coordenadas utilizadas. E podemos imaginar... infinitas.
...Então, o que é intrínseco? Resposta: o comprimento s medido ao longo de uma reta (ou ao longo de qualquer curva arbitrária). Entre dois pontos M1 e M2 de uma superfície, o trajeto de menor comprimento é uma geodésica.
...Da mesma forma, a distância entre dois pontos, ao longo de uma geodésica de objetos "esfera" ou "ovo", é também uma grandeza independente do sistema de coordenadas escolhido. Se tomarmos dois pontos M1 e M2 sobre uma superfície e traçarmos o arco geodésico que os une, o comprimento s medido ao longo desse arco será o mesmo, independentemente do sistema de coordenadas usado para localizar os pontos.
...O mesmo vale para a hipersuperfície de quatro dimensões que chamamos de "universo". Ela possui seu próprio sistema de geodésicas, também invariante por mudança de coordenadas. Não habitamos um espaço (x, y, z, t) com coordenadas de posição e uma coordenada de tempo, mas sim em uma hipersuperfície quadridimensional que pode ser completamente descrita por sua rede de geodésicas. Sobre essas geodésicas existe um comprimento s que também é invariante por mudança de coordenadas. Os pontos dessa hipersuperfície já não são pontos do espaço, mas pontos de uma hipersuperfície espaço-tempo. Chamamos esses pontos de eventos. Dois eventos distintos são, portanto, separados por algo chamado s. Mas o que é isso?
É o tempo próprio.
...Uma trajetória geodésica nessa hipersuperfície espaço-tempo separa dois eventos M1 e M2. Tudo o que posso dizer é que, se tivesse usado um veículo para percorrer esse trajeto no espaço-tempo, teria decorrido um intervalo de tempo s em meu relógio de bordo.
A escolha de um sistema de coordenadas consiste em localizar os pontos do espaço-tempo por coordenadas espaciais (x, y, z) e uma coordenada de tempo t. Mas como essa escolha é arbitrária, esse espaço e esse tempo não têm existência intrínseca. São apenas formas de "ler" a superfície, de percorrê-la. A única restrição: dependendo da hipótese feita, só podemos nos mover ao longo de geodésicas, e sobre essas, a única coisa confiável com que podemos nos ater é o "tempo próprio decorrido" s, e não esse tempo t, apenas um sistema de marcação cronológica (chronological marker).
Para cada escolha do sistema de coordenadas, um sistema diferente de leitura dos eventos, dos fenômenos.
...Os físicos, portanto, procuraram um formalismo independente da escolha das coordenadas. Essa é a essência do formalismo tensorial. Não podemos dizer mais sobre esse assunto, sob pena de entrar em detalhes técnicos relativamente complexos.
O problema das singularidades.
Em uma esfera, a escolha clássica de coordenadas angulares introduz duas singularidades polares.
É impossível mapear uma esfera sem introduzir esse tipo de singularidades polares.
...É importante notar que podemos mapear uma esfera com uma única singularidade. Criamos na esfera uma primeira família de curvas (círculos) cortando-a com planos, como indicado a seguir:
Em seguida, uma segunda família:
Além dessa única singularidade, não há problema. Se olhássemos a esfera do outro lado, veríamos isto:
...Além da única singularidade S, os pontos são facilmente localizados. Mas os valores dos parâmetros a e b que definem essa singularidade de malha S são... arbitrários...
...Apesar disso, uma esfera não é geometricamente, intrinsecamente singular. Gire uma bola de bilhar ou um ovo em todas as direções, não encontrará nenhum ponto singular.
Essas singularidades foram, portanto, criadas pela escolha das coordenadas.
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