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- *Espaço de representação.
...Vimos que um cilindro é uma superfície desenvolvível. Pegue agora uma folha de papel. É uma superfície plana, euclidiana. Suas geodésicas são retas. Trace algumas retas nessa folha, depois amasse-a.
...Se você pudesse rigidificar essa superfície plana amassada, perceberia que essa operação não modificou de forma alguma a distribuição de suas geodésicas, que poderia novamente traçar com sua fita adesiva. Você simplesmente brincou com o modo de representação desse plano em seu espaço de imersão tridimensional.
Uma forma menos complicada de proceder consiste em transformar uma chapa em... chapa ondulada:
Geodésicas: inalteradas.
...Os objetos geométricos existem independentemente da maneira como os representamos, independentemente de seu espaço de representação.
...Supõe-se que habitamos uma "hipersuperfície quadridimensional": o espaço-tempo. A Relatividade Geral consiste em tentar construir sua geometria, como solução de uma equação de campo, e depois "ler" essa geometria, analisando as geodésicas da hipersuperfície. É evidente que, nesse caso, já não se trata mais de espaço de representação. Para isso, seria necessário dispor de uma visão em cinco dimensões, que não possuímos.
...Na prática, utilizamos coordenadas que são as do espaço euclidiano, de projeção. Imaginemos que estejamos procurando uma solução geométrica adequada para descrever o espaço-tempo próximo a um corpo massivo e dentro dele. Vamos supor que o sistema apresente simetria esférica. Além disso, suporemos que o sistema seja estacionário (ou quase estacionário).
...Usaremos então as coordenadas esféricas (r, q, j). Em duas dimensões, teremos apenas duas e nossa simetria será circular. Usaremos então o sistema de coordenadas polares do plano:
...Esse modelo do corpo achatado é uma imagem didática em 2D de uma solução estacionária que realmente existe na Relatividade Geral e que foi inventada pelo austríaco Schwarzschild, em 1917, como solução particular da "equação de Einstein":
S = c T
já apresentada anteriormente. Essa solução é inteligente e sutil. Do ponto de vista computacional, não é fácil de construir. Essa precisão para tentar dissipar um mito: o de um Einstein, gênio isolado no mundo de sua época, cercado por ignorantes.
...A partir dessa solução, mostra-se então que existem, ao redor de uma massa com simetria esférica, geodésicas planas, situadas em planos, e sabe-se calcular sua forma: r = f(q). Essas trajetórias (ou pelo menos sua projeção em nosso espaço mental de representação, euclidiano) são "quase keplerianas" e as leis de Kepler aparecem então como uma aproximação, quando a massa que cria essa geometria (na visão newtoniana, essa "força") permanece moderada, ou seja, quando a curvatura local, nessa massa, permanece fraca.
...Essa solução é um dos pilares da Relatividade Geral e, embora isso não possa ser abordado por simples imagens didáticas como as que oferecemos ao leitor, é ela que permite prever e calcular, por exemplo, o avanço do periélio de Mercúrio. Einstein utilizou essa solução para explicar esse efeito, já conhecido, e, ao mesmo tempo, colheu todos os louros daquilo que passou a ser chamado "a teoria de Einstein". Por que Schwarzschild não explorou ele próprio sua descoberta? Porque insistiu em se engajar e partir para as trincheiras, onde foi envenenado e morreu pouco depois.
...Aliás, não temos certeza absoluta de que essa famosa equação de Einstein seja realmente sua. Parece que teria sido sugerida por grandes matemáticos como Hilbert. Einstein também não recebeu com entusiasmo a descoberta posterior do russo Friedmann, que descobriu, ele sim, a solução não estacionária da equação de campo capaz de descrever a evolução do universo. O mesmo ocorreu, em 1921, com os trabalhos do jovem matemático Kaluza, cujos trabalhos, redescobertos, constituem hoje o ponto de partida da teoria das supercordas. Essas coisas são cientificamente de pouca relevância e não diminuem em nada o valor de Einstein, mas mostram que o espírito esportivo não necessariamente está ligado ao valor científico de um indivíduo.
Na solução desenvolvida por Schwarzschild, tecnicamente, o espaço se divide em duas partes. No interior do astro, a densidade de matéria r é suposta constante. O tensor energia-matéria T, que dela depende, também é não nulo. No exterior, r e T são nulos.
...Essa geometria composta é, portanto, solução de duas equações diferentes, com ou sem termo independente. A densidade de matéria apresenta uma descontinuidade na superfície do astro (é também o caso para o par solução interna de Schwarzschild e solução externa de Schwarzschild). Nesse caso, o astro é uma esfera de densidade constante e essa densidade cai abruptamente para zero na superfície do astro. Mas a continuidade das geodésicas pode ainda ser garantida, por meio de condições matemáticas cuja imagem foi dada anteriormente (junção tronco de cone-capa esférica).
...Quando a massa se torna grande e os efeitos de curvatura são acentuados, as trajetórias se afastam mais claramente do modelo kepleriano, por exemplo, próximo a uma estrela de nêutrons. Abaixo, o avanço do periélio ao redor de um tal astro (ao redor do Sol, a elipse da trajetória de Mercúrio avança 0,15 grau por século).
...A fórmula e o programa que permitem calcular essas trajetórias não têm nada de complicado. Um dia, os apresentaremos neste site, para os curiosos.
...No momento, estamos colocando algumas bases geométricas em vista de discussões futuras, lembrando que os modelos indicados têm apenas caráter indicativo.
../../../bons_commande/bon_global.htm
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