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Possíveis problemas provocados por uma escolha de coordenadas.
...Vamos abordar os riscos envolvidos ao aplicar um sistema de coordenadas sobre uma solução geométrica, expressando essa solução dentro de um sistema particular de coordenadas: é preciso que esse sistema seja adequado. Ao observarmos a solução acima, assumindo que essa geometria seja solução de uma equação de campo, o uso de um sistema de coordenadas (r, q) pressupunha que a topologia fosse "localmente esférica", em duas dimensões, é claro. Ou seja, dentro de qualquer círculo "centrado sobre esse centro geométrico hipotético" era possível sempre inscrever um círculo menor, até que esse círculo se reduzisse a um ponto. Matematicamente diríamos que todo círculo de raio r delimita uma "célula contrátil".
...Em 3D, localmente, o universo seria "como uma boneca russa". Dentro de uma esfera sempre seria possível inscrever uma esfera de área menor. Em 3D, trata-se de uma topologia localmente esférica.
Pode ser diferente?
Sim, se a topologia da superfície for "localmente toroidal". Em 2D isso dá isto:
...Observação: o objeto da figura acima é uma superfície 2D no sentido de que são necessários dois parâmetros para localizar a posição de um ponto nela. Nesse sentido, uma curva é uma "superfície de uma dimensão". Quando o geométrico falar do círculo, usará a expressão "esfera S1", ou seja, "esfera de uma única dimensão": basta um único parâmetro, a abscissa, para localizar um ponto em uma curva, objeto unidimensional. A esfera S2, a esfera "ordinária", e o círculo, a esfera S1, têm algo em comum: são objetos "fechados" (conceito então emprestado da topologia).
...Esse número de grandezas necessárias para definir a posição de um ponto em um espaço é exatamente a definição da dimensão desse espaço. Assim, consideraremos o espaço-tempo (x, y, z, t) como uma hiper-superfície de quatro dimensões, porque são necessárias quatro grandezas para definir um ponto, chamado "evento".
Fim desta observação sobre o conceito de dimensão.
...É preciso manter bem claro um ponto. O geométrico que constrói uma solução particular de uma equação de campo é cego; ele não pode ver o objeto geométrico que obtém. Ele só pode explorá-lo, através de suas geodésicas, descrevendo-as em um sistema particular de coordenadas. As coordenadas polares vistas anteriormente correspondiam à interseção da superfície com uma família de cilindros coaxiais:
e com uma família de planos passando pelo eixo comum desses cilindros.
Em 3D, seria a interseção do espaço com uma família de esferas concêntricas.
...Mas o que acontece se cortarmos a superfície com esse tipo de ponte tubular por uma família de cilindros concêntricos? Enquanto os cilindros cortam a superfície, tudo bem. Mas quando seu perímetro se torna menor que o do "círculo da garganta", essas seções tornam-se curvas ... imaginárias. Seja p o perímetro do círculo da garganta. Associe-lhe um comprimento Rg tal que p = 2πRg.
...É claro que todo cilindro da família com r < Rg não corta a superfície. Quando o geométrico se interessar pela forma das geodésicas da superfície para r < Rg, encontrará objetos geométricos imaginários.
...Quando procuramos a interseção de dois pontos com uma reta, correspondente, por exemplo, a x = xo, encontramos duas soluções reais para y quando a reta realmente corta o círculo. Caso contrário, essas soluções são puramente imaginárias.
...Se um homem, explorando uma superfície na escuridão, sem poder perceber sua forma, ignorar que a topologia dessa superfície é localmente toroidal, poderá ficar extremamente perplexo.
A superfície pode ser identificada por duas famílias de curvas:
...Cada curva é definida por um parâmetro. Um ponto M, na interseção dessas duas curvas, é bem definido por duas grandezas (a, b), os dois valores das curvas que passam por M.
...A primeira é constituída por círculos que não são geodésicas da superfície (exceto o círculo da garganta), e a segunda por geodésicas de forma hiperbólica, ortogonais a esses círculos. As curvas hiperbólicas lembram trajetórias de queda, que permitem passar de uma folha a outra folha.
É claro que podemos ter a mesma situação em um espaço 3D, localmente hiper-toroidal. Os círculos serão substituídos por uma família de esferas, entre as quais encontraremos uma esfera da garganta, de área mínima. As linhas que constituem as trajetórias ortogonais a essa família de esferas formam trajetórias de queda que permitem atravessar esse túnel hiper-toroidal e reaparecer em outra folha (ou folheto) 3D.
...Essa observação não é gratuita. Teremos oportunidade de voltar a ela quando examinarmos o modelo do buraco negro. De fato, nesse modelo, quando penetramos "no interior da esfera de horizonte", a massa de uma partícula torna-se... puramente imaginária (isso e muitas outras coisas ainda). Então temos o direito de nos perguntar se ainda estamos na hiper-superfície espaço-tempo. A escolha particular de coordenadas (t, r, q, j), que implica uma topologia localmente hiper-esférica (existência de uma coordenada radial r capaz de assumir valores menores que o raio da esfera de horizonte, da esfera de Schwarzschild), seria pertinente?
Um astrofísico conhecido escreveu, há alguns anos:
- Sabemos agora muito mais sobre o interior dos buracos negros.
Mas os buracos negros, se existirem, têm um interior, ou correspondem a uma topologia localmente hiper-toroidal?
...Vemos tudo o que pode ser induzido por uma escolha de sistema de coordenadas. A solução geométrica existe. Ela possui geodésicas. Mas não sabemos "ler" tudo isso senão projetando em nosso espaço mental de representação: um espaço-tempo euclidiano, que nem sequer é relativista. Escolher um sistema de coordenadas é escolher um sistema de leitura, um sistema de projeção.
...Como os personagens de Platão, só podemos observar sombras em um "tela euclidiana". É preciso, ainda, escolher o bom objetivo do "sistema de projeção".
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