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O contexto geométrico.
... Uma esfera é um espaço de dimensão 2. São necessários dois parâmetros para localizar um ponto nela. É um espaço que possui uma topologia (para mais detalhes sobre o significado da palavra topologia, veja minha tirinha O Topologicon, Ed. Belin). Uma esfera não tem a mesma topologia, a mesma "forma" que um toro. A esfera possui geodésicas. Pode-se inscrever nela um trajeto ligando dois pontos M1 e M2 e medir o comprimento s percorrido. Esse comprimento é independente das coordenadas escolhidas para localizar os pontos, assim como as curvas geodésicas que povoam a superfície.
... Conectemos o centro dessa esfera a todos os seus pontos. Obtemos uma infinidade de semi-retas. Essas podem ser identificadas com o mesmo sistema de coordenadas usadas para os pontos, por exemplo dois ângulos q e j.
Acima, nossa esfera. Fizemos um furo para mostrar o conjunto dos raios vetoriais.
Agora, retiremos a esfera e mantenhamos apenas os raios vetoriais.
... Cortamos essas semi-retas, mas na verdade elas são infinitas. Cada uma é definida apenas pela dada de dois parâmetros, por exemplo dois ângulos. A estrutura métrica desapareceu. Sem geodésicas, sem comprimentos. O que resta?
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Toda semi-reta possui um vizinho. Podemos selecionar semi-retas vizinhas para cercar essa semi-reta dentro de uma espécie de cone. Dentro desse cone pode-se colocar um cone ainda mais estreito, que contenha a semi-reta. É como círculos concêntricos ou bonecas russas, mas com feixes de semi-retas. Mas não se trata de traçar geodésicas sobre esses cones. Cada uma de suas geratrizes é simplesmente um conjunto de dois parâmetros, por exemplo dois ângulos.
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Distingue-se uma ideia intuitiva de diferenciabilidade. Não há descontinuidade nessa "textura".
Peguemos uma superfície plana, com geodésicas, comprimentos etc...
... Qualquer que seja o sistema de coordenadas que escolha, sempre terei de localizar a posição dos meus pontos com dois números reais (x,y), (r,q), etc...
Esses números reais pertencem a R², ou seja, ao conjunto dos pares de números reais, como (3,8705, -17,56). Qualquer par de pontos escolhido nesse espaço de pares de números reais possui um vizinho. É "contínuo".
Esses objetos "pré-métricos" são chamados de variedades (os matemáticos têm o jeito de escolher palavras que não evocam nada para o homem comum).
... Nesse estágio, pode-se, portanto, dar um salto e considerar um conjunto de n números reais (espaço de n dimensões), sem associar automaticamente a ideia de comprimento ou geodésicas.
... É um pouco como se considerássemos uma superfície cujos pontos tivessem apenas a restrição de manter contato com seus vizinhos. Seria infinitamente elástica e deformável. Por convenção, se representarmos uma superfície por seu contorno (seja seu bordo, seja seu contorno aparente), evocaremos esse conceito "móvel" de variedade simplesmente removendo o contorno:
... Essa imagem evoca, aliás, a sombra do objeto. E uma sombra não tem consistência nem forma. Sua geometria depende do objeto sobre o qual se projeta.
Também podemos nos representar a variedade (em inglês manifold), sem sua métrica, como uma família de retas.
... Aqui, colocamos retas que parecem paralelas. Essas retas deveriam ser... de qualquer forma, mantendo suas relações de proximidade, de vizinhança.
... Finalmente, uma boa imagem de uma variedade V2 é um pacote de espaguete que primeiro cozemos, depois dobramos e torcemos em todas as direções, mas sem alterar a ordem das massas entre si.
Independentemente disso, pode-se realizar sobre uma variedade uma operação de cobertura com duas folhas, que é equipada com métricas, sugerida pela imagem a seguir:
Aqui, duas folhas 2D dotadas de métricas idênticas (euclidianas). Mas também podemos fazer:
... Chamaremos M e M* de pontos conjugados. O fato de dizer que os dois espaços conjugados são construídos como a cobertura com duas folhas de uma variedade significa simplesmente que existe uma correspondência ponto a ponto entre as duas folhas F e F*, mas, por exemplo, as distâncias entre pares de pontos homólogos (M1,M2), (M1, M2) podem ser diferentes. A única restrição é, afinal, que os vizinhos dos pontos correspondam também e que a toda região não singular de uma folha corresponda uma região também não singular.
... Voltamos ao pacote de massas flexíveis do momento anterior. A estrutura de "variedade-esqueleto" está lá apenas para construir a aplicação injetiva entre os dois objetos geométricos. A figura acima tem como objetivo provocar completamente perguntas como "como as folhas F e F* estão dispostas uma em relação à outra? Se F é um universo, onde está F*?". Essas folhas são simplesmente conjugadas, com uma correspondência ponto a ponto e esses pontos conjugados podem ser descritos pelas mesmas coordenadas.
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