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Curvaturas conjugadas.
...Como compreender a ideia de curvatura local, positiva ou negativa, em um espaço tridimensional. Tomemos uma esfera. Insira um prego em algum lugar. Ame o prego com um fio de comprimento L e fixe na outra extremidade um lápis. Podemos traçar um círculo, que será um paralelo. Faça a mesma operação com um plano e uma sela de cavalo.
...Em um plano, o perímetro é 2πL e a área do disco é πL².
...Na esfera, o perímetro e a área da calota são menores. Em uma sela de cavalo, o perímetro e a área delimitada por essa curva fechada são maiores. Exemplo: se tomarmos uma esfera de raio R e um comprimento L igual a um quarto do perímetro equatorial, ou seja, πR/2:
...A área do disco é 3,875 vezes maior que a área da calota esférica. Seu perímetro é 1,57 vezes maior que o equador.
...Realizando medições análogas sobre uma superfície, podemos saber se a curvatura local é positiva ou negativa. Situação análoga em 3D. Tomamos então um ponto, um fio de raio L e traçamos... uma esfera. Se a área dessa esfera for menor que a área euclidiana 4πL², concluiremos que a curvatura local é positiva. Se essa área for maior que a área euclidiana 4πL², concluiremos que a curvatura local é negativa. Mesma conclusão para o volume. Basta-nos essas ideias qualitativas. Em três e quatro dimensões, pode-se definir um comprimento R, chamado curvatura escalar, que se calcula a partir de um tensor de curvatura.
...No modelo cosmológico que apresentamos, decidimos conjugar dois folhos do universo tais que os valores das curvaturas escalares locais em pontos conjugados sejam inversos:
R* = - R
...É a maneira puramente geométrica de encarar as coisas. É então fácil fornecer uma imagem didática em 2D, com as reservas usuais quanto à realidade efetiva dessas representações. É o desenho da figura a seguir:
Em cima, um "posicône" arredondado. A curvatura local é nula no tronco do cone e positiva na calota esférica.
Embaixo, um "négacône" arredondado. A curvatura é nula no tronco do négacône e negativa na sela de cavalo.
...Projetamos o objeto e as geodésicas sobre dois planos-espaço de representação euclidianos. O primeiro é o de um observador fisicamente situado no folho F, que poderá assim ver o objeto massivo, mas não a partícula-teste caminhando no folho F*.
...A invisibilidade de um objeto situado em um folho para um observador situado no outro é de natureza puramente geométrica. Supomos que os fótons sigam geodésicas (especiais) de cada folho. Fótons j caminham no folho F (nosso folho do universo) e fótons j, que poderemos chamar de "fótons fantasma" (ghost photons), caminham no folho F, o "universo fantasma" (ghost universe). O fato de os dois folhos formarem um conjunto disjunto, não conexo, impede que qualquer fóton de um folho passe para o outro.
...O "funcionamento" de tal sistema geométrico é menos complicado do que parece.
...O folho F tem sua geometria, completamente descrita por uma "métrica" g, a partir da qual construímos seu sistema de geodésicas. A partir dessa métrica g, podemos construir um tensor geométrico S e identificá-lo a um tensor T, que seja "fonte do campo", origem dessa curvatura, escrevendo a equação de Einstein:
S = c T
A geometria do segundo folho, tal que sua curvatura escalar seja inversa, corresponde a uma métrica g*, a partir da qual podemos construir um tensor geométrico S*. A inversão da curvatura decorre simplesmente de:
S* = - S = -c T
...O que não significará absolutamente que g* = -g. As equações são não lineares. A métrica g* gera também geodésicas.
...Considere uma geodésica do folho F e represente a curva correspondente aos pontos conjugados, no outro folho. Isso não é uma geodésica desse último.
Inversamente:
...Neste estágio, onde estamos? Dotamos o universo (suposto ser o folho F, nosso próprio espaço-tempo) de um irmão gêmeo. A matéria presente em nosso universo (o tensor T) determina sua geometria, mas também determina a do gêmeo. Supomos que nosso universo contenha apenas massas positivas e, mais geralmente, partículas com energias positivas. Não consideramos a possibilidade de massas negativas em nosso folho de espaço-tempo. O tensor T é, portanto, positivo onde há energia-matéria, ou nulo onde reina o vácuo perfeito. A curvatura local de F é, portanto, nula ou positiva, mas não pode ser negativa.
...Por outro lado, a curvatura do folho F* (falaremos então de curvatura induzida) é nula ou negativa.
...Se existirem partículas nesse folho, supomos que também sigam geodésicas desse folho. O que observamos ao olhar para a figura acima? O objeto cinza, essa massa presente em nosso universo, no folho F, comporta-se como um objeto repulsivo (ver a curvatura da trajetória-geodésica) no folho F*.
...Construímos uma solução matemática exata correspondente a esse par de "métricas conjugadas" (g, g*). [Ver no site: artigo Geometrical Physics B]. A solução g é idêntica àquela que chamamos de métricas de Schwarzschild externa (fora do astro) e interna (dentro do astro). Propomos chamar a segunda métrica de "Anti-Schwarzschild". [Ver no site: Geometrical Physics A, 7, artigo 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions.]
Com matéria fantasma.
Nesta perspectiva de geometrias conjugadas, podemos inverter a situação e supor que uma massa (positiva) esteja presente em algum lugar no folho F*. Ela cria então uma curvatura positiva e a imagem didática 2D dessa geometria corresponde ao cone arredondado, a uma solução de Schwarzschild, mas no folho F*.
...Mesma observação sobre a forma como os observadores de diferentes folhos percebem o efeito dessa massa sobre uma partícula-teste caminhando em seu universo.
...A análise do esquema acima nos permite extrair as leis de interação entre a matéria e a matéria fantasma (ghost-matter), localizada no segundo universo, o ghost universe.
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Duas partículas de matéria se atraem.
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Duas partículas de matéria fantasma se atraem.
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Matéria e matéria fantasma se repelem.
...Vemos que isso difere do esquema sugerido por Souriau, segundo o qual as partículas da segunda espécie não apenas repeliam as que constituem nossa matéria, mas também se repeliam entre si.
...A segunda geometria corresponde à presença de massas positivas m*, no folho F*. Pode-se definir nela uma densidade de matéria r* > 0 (ou mais precisamente de energia-matéria fantasma, já que o segundo folho, o ghost universe, contém também "radiação fantasma", fótons fantasma e neutrinos fantasma). A energia das partículas fantasma é positiva, assim como a pressão p*.
...A partir dessas grandezas, pode-se construir um tensor de energia-matéria fantasma T* (o tensor energia-matéria mais geral é um pouco mais que isso, mas essa descrição esquemática é suficiente "para os fins usuais").
A equação de campo que dá a geometria do...