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Noção de geodésica.
...Em tudo o que se seguirá, trataremos apenas de superfícies bidimensionais. Seria preferível que o leitor se munisse de algum material antes de iniciar esta leitura. Há, com efeito, coisas que "se compreendem com as mãos", realizando experiências. É preciso, portanto:
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Folhas de papel cartão Bristol, ou de papel um pouco grosso.
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Fita adesiva, se possível colorida.
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Tesoura.
...Encontram-se no comércio fitas de "fita adesiva têxtil" particularmente práticas, que têm a vantagem de poderem ser desenroladas em tiras de larguras quaisquer.
...Pegue uma superfície, por exemplo a carroceria do seu carro. Você pode colar uma fita sobre ela, arranjando as coisas para que esta não enrugue, para que adira sempre completamente ao seu suporte. Ao fazê-lo, você traçará geodésicas da "superfície-carro".
...Se você fizer esta operação sobre uma superfície plana, obterá.. retas. As retas são as geodésicas do plano.
...Com três geodésicas você poderá traçar um triângulo sobre esse plano, "superfície euclidiana", sendo a soma dos ângulos desse plano igual a 180°.
Os posicones.
Fabriquemos agora um "posicone". Para isso, efetuar um corte de um ângulo q e recol ar a superfície como indicado.
...Tracemos dois triângulos geodésicos, com a fita adesiva, sendo um exterior ao vértice S deste posicone e o outro contendo esse vértice S. Meçamos a soma dos ângulos do triângulo. Constata-se então que a soma dos ângulos do triângulo que não contém o vértice permanece igual a 180°, enquanto a do outro triângulo vale 180°+q .
Para verificá-lo, bastaria reabrir este "posicone" e colocá-lo plano. Então obter-se-ia isto:
...Pode-se então verificar facilmente que as retas AH e H'B formam um ângulo q. Como se poderia constatar "experimentalmente", as geodésicas do cone, após colocação plana, tornam-se retas do plano, o que significa simplesmente que o cone é uma superfície desenvolvível. O mesmo para um cilindro.
...Uma superfície desenvolvível é também uma superfície que se pode rolar sobre um plano (a menos de certas precauções, para as superfícies desenvolvíveis de curvatura negativa, como se verá mais adiante).
...Se se traçar uma geodésica sobre um cone ou um cilindro, com tinta gordurosa, pode-se servir desta "matriz" para "imprimi-la" sobre um plano, caso em que se obtém uma reta. E, inversamente, se se inscrever uma reta com tinta gordurosa sobre um plano e se a "imprimir" sobre um cone ou um cilindro, fazendo rolar esses objetos sobre o plano, a impressão dá... geodésicas.
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