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A curvatura (positiva).
...Quando tínhamos traçado o nosso triângulo,
constituído por linhas geodésicas, sobre um plano, a soma
dos seus ângulos no vértice valia p.
Um plano... é uma superfície plana, "não curva", euclidiana. A soma
dos ângulos desse triângulo é, portanto, a soma euclidiana. Na experiência
anterior vimos que, se um triângulo não continha o
vértice do nosso cone, a soma permanecia euclidiana. Em contrapartida, quando o
triângulo contém o vértice S, então essa soma apresenta um excesso
q, qualquer que seja
o triângulo, desde que contenha esse ponto. Diremos que o vértice do
cone é um ponto de curvatura concentrada.
...Podemos agora passar a outras
experiências. Depois de fabricar dois cones, com
recortes q1 e
q2, podemos
colar esses dois elementos de superfície um ao outro.
...Uma forma mais simples de proceder
consiste em fazer dois recortes numa folha de cartolina
e fabricar a seguinte superfície:
Poderá então traçar sobre esta superfície tantos triângulos geodésicos
quantos quiser:
-
Não envolvendo nem S1 nem S2: Soma dos ângulos: p
-
Envolvendo apenas S1: Soma dos ângulos p
- q1
- Envolvendo apenas S2: Soma dos ângulos: p
- q2
- Envolvendo os dois pontos S1 e S2: Soma dos ângulos
: p + q1+
q2
...Imagina-se facilmente que se possam fabricar
um grande número de mini posicones de ângulo Dq
fraco e que se possam colar uns sobre os outros. Poder-se-ia
até arranjar maneira de haver uma densidade de curvatura
constante por unidade de superfície, assimilando essa curvatura à
soma dos Dq associados
a cada vértice desses mini posicones.
...Tornando esses mini posicones cada
vez menores (assim como o ângulo elementar Dq
que lhes está associado), pode-se servir disso para construir
uma porção de superfície com densidade de curvatura constante.
A esfera é uma superfície com densidade de curvatura constante.
Diremos mais simplesmente com curvatura local constante.
Um ovo é uma superfície curva, com densidade de curvatura variável. Diremos mais simplesmente com curvatura local variável.
...A Relatividade Geral
consiste em identificar massa volúmica r
e curvatura local. Naturalmente, a Relatividade Geral
não trata de superfícies a duas dimensões, nem sequer a
três, mas de hipersuperfícies a quatro dimensões. Não se deve, portanto,
exigir demasiado do que precede, e só deveremos considerar
essas figuras como imagens didáticas, destinadas a fixar
as ideias. Mas não são assim tão más.
Imagem didática 2D de um astro.
Um astro, como o sol, é uma concentração de matéria, rodeada, se não
de vazio, pelo menos de um quase-vazio (portanto, de uma região de curvatura
muito fraca). Em duas dimensões, a imagem didática será a de um cone
truncado.
...Um cone truncado é fabricado
com a ajuda de dois elementos: uma calota esférica,
de curvatura constante (ou de "densidade de curvatura constante")
e um tronco de cone. Esse tronco de cone é "plano", a sua densidade
de curvatura é nula. É uma superfície euclidiana. É a imagem didática
2D de um astro de massa volúmica r
constante.
...Poder-se-ia, a propósito, perguntar como
ligar perfeitamente um tronco de cone e uma calota esférica,
de modo a que o plano tangente seja contínuo.
...É simples. O tronco de cone é fabricado
a partir de um cone, o que implica um recorte de um ângulo
q. A calota esférica
contém uma certa "quantidade de curvatura", que também é um ângulo.
É a soma de todos os ângulos dos mini posicones que a constituem.
É preciso que esses dois ângulos sejam iguais.
Mas como avaliar a quantidade de curvatura contida numa
calota esférica dada? .
...
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