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Curvatura total.
...Podemos fabricar uma esfera justapondo mini posicones. Mas durante esta operação, esta superfície de curvatura constante (ou densidade de curvatura ou curvatura local) vai se fechar. Ela contém, portanto, uma certa curvatura, mas qual?
...Se eu traçar um triângulo geodésico sobre uma esfera, ele vai encerrar um certo número de mini posicones, uma certa "quantidade de curvatura", que é um ângulo. Esta será simplesmente proporcional à superfície do triângulo, ou mais precisamente à razão entre a superfície s do triângulo e a superfície S da esfera.
...Mas vimos, mais acima, que quando traçávamos um triângulo geodésico sobre uma superfície fabricada a partir de posicones unidos, o desvio à soma euclidiana era igual à soma das curvaturas concentradas ligadas a cada vértice de cones contidos em nosso triângulo. Basta, portanto, medir a soma dos ângulos a, b, g do triângulo acima, fabricado a partir de três arcos geodésicos de esfera para obter uma medida da quantidade de curvatura angular contida neste triângulo. As geodésicas da esfera são seus "grandes círculos".
...Cortemos nossa esfera em oito porções iguais. Obteremos oito triângulos constituídos por arcos geodésicos, cujos três ângulos serão retos.
...Cada um desses triângulos contém, portanto, uma curvatura igual a p/2. Como há oito, a curvatura total da esfera vale, portanto, 4 p.
...Esta pequena observação para mostrar que se pode construir resultados geométricos com a ajuda de raciocínios extremamente simples.
...Voltando ao tema do cone rombudo, vê-se que o flanco do objeto depende da quantidade de curvatura "contida no interior", podendo esta curvatura ser pontual (ponto cônico) ou distribuída sobre uma calota esférica. Pode-se fazer tender a calota para um ponto, reduzindo-a de maneira homotética (de tal modo que ela contenha sempre a mesma "quantidade de curvatura").
Trajetórias.
...Em Relatividade Geral a ideia-chave é simples: assimilar as trajetórias dos objetos, das partículas, dos fótons ou da matéria a geodésicas. É claro que são geodésicas de uma hipersuperfície de quatro dimensões. Portanto, também aqui temos apenas imagens didáticas.
Se tomarmos nosso cone rombudo, podemos traçar sobre ele geodésicas e projetá-las sobre um plano.
...Todas as partículas seguem geodésicas da hipersuperfície: as partículas de matéria, mas também os fótons e os neutrinos. É por isso que nos divertimos em figurar uma geodésica que atravessa o objeto completamente. Um neutrino pode atravessar o sol sem problema.
...Mas o que é este plano sobre o qual se projetam estas geodésicas? É a maneira como representamos o espaço. Nosso "universo mental" é completamente euclidiano e nosso pensamento "plano". Quando vemos um cometa roçar o sol, nunca nos viria à ideia que na verdade ele vai "em linha reta", isto é, que segue uma geodésica da hipersuperfície. Nossa percepção do mundo é a figura 24', onde um astro "atrai" os objetos que passam em sua vizinhança.
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