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Geometrias conjugadas.
...Vamos então associar um posicone embotado e um "negacone embotado", comportando as mesmas quantidades de curvatura, mas de sinal oposto: + q e - q.
Podemos colocá-los frente a frente (criando, de passagem, uma "aplicação ponto por ponto": biunívoca, injetiva). Há então duas folhas.
Chamemo-las F e F*. A todo ponto de F corresponde um ponto de F*.
...Arranjemo-nos para que os contornos circulares das "partes embotadas", portadoras de curvatura (positiva numa folha, negativa na outra) se correspondam ponto por ponto. Ilustramos isto projetando o conjunto sobre um plano. Obtemos duas superfícies com curvaturas conjugadas.
...Os flancos cônicos são "não-curvos", são elementos de superfícies euclidianas. Diremos que em todo ponto destas superfícies a curvatura local é nula. A calota esférica e a sela de cavalo se correspondem ponto por ponto. Suas curvaturas são opostas.
A Relatividade Geral.
...O ponto de partida é a ideia de que a geometria do cosmos é determinada por seu conteúdo em "energia-matéria".
Notemos que se emprega o vocábulo energia-matéria e não apenas matéria, o que mostra bem que todo conteúdo cósmico tem uma influência sobre a geometria, incluindo a radiação, os fótons (ou os neutrinos). Vimos mais acima que um fóton criava uma minicurvatura positiva no espaço.
...Vamos primeiro raciocinar em estacionário. Uma superfície plana, livre, é uma superfície onde a tensão é nula. Pode-se modificar sua geometria criando nela tensões, positivas ou negativas (o sinal é uma questão de convenções). Se eu aquecer, por exemplo, um filme plástico, poderei fazer aparecer nele uma bolha, isto é, uma região de curvatura positiva.
...Posso também colocar na superfície de uma folha de papel um produto que, ao secar, vai se contrair. A tensão fará aparecer uma região de curvatura negativa.
...Um funileiro modelador sabe jogar com essas tensões para deformar uma chapa. Tomemos por exemplo um tubo de metal. Aqueço de um lado, resfrio do outro. O que vai acontecer?
O tubo vai se curvar, a parte aquecida se dilatando e a parte resfriada se contraindo.
...Ao fazê-lo, criamos tensões no metal. É a origem da palavra tensor, em matemática e em geometria. O especialista em resistência dos materiais falará de tensor das tensões. O geômetra falará de tensor de curvatura.
A pequena experiência acima ilustra a ideia:
Conteúdo local em energia -----> geometria local
...Em Relatividade Geral, faz-se o mesmo. A diferença é que esse conteúdo local em energia-matéria determina a geometria de uma hipersuperfície de quatro dimensões e não, como aqui, a geometria de uma superfície de duas dimensões.
Mas a ideia é semelhante.
...O matemático utilizará então uma escrita tensorial. Dificilmente se pode dizer mais aqui para um não-matemático.
Mas o tensor de Einstein S (utilizar-se-ão letras em negrito) corresponde ao aspecto geometria.
Na equação de Einstein, identifica-se-o a um outro tensor T, que descreve o conteúdo em energia-matéria, a menos de uma constante multiplicativa, a "constante de Einstein c".
A célebre equação de Einstein se escreve portanto:
S = c T
...No tensor T intervêm a massa volumétrica r e a pressão p (na verdade o tensor T mais geral é mais complexo, mas nos contentaremos com esta expressão, aliás usual). Numa configuração estacionária se dará portanto uma certa distribuição de densidade e de pressão r (x,y,z), p (x,y,z). Com isto sabe-se construir o tensor T que contém assim todos os dados do problema. A questão é então: "qual é a geometria que vai com este tensor T, satisfazendo a equação acima?".
...Em outras palavras, o físico, conhecendo o conteúdo local do universo, procura determinar a geometria da hipersuperfície universo.
Quem diz geometria diz geodésicas. É aqui que intervém a segunda hipótese da Relatividade Geral:
Supõe-se que os objetos que caminham no universo
seguem geodésicas da hipersuperfície espaço-tempo.
Por objeto se entenderá partículas (partículas ditas elementares, fótons, neutrinos) mas também planetas, estrelas, etc....
Neste estágio, uma observação: onde estão as partículas em toda essa história?
...Resposta: o especialista em Relatividade Geral trabalha no macroscópico. As funções-entrada do problema, a massa volumétrica r e a pressão p, correspondem a uma descrição macroscópica do conteúdo cósmico. Mesma coisa para a "saída". E o geômetra acrescenta:
- Você me deu funções r (x,y,z) e p (x,y,z), eu lhe construí a hipersuperfície que ia com elas, com suas famílias de geodésicas. Mas não posso fazer mais. Sou em particular incapaz de lhe fabricar partículas, átomos, etc. Para isso, veja outro serviço...
Em claro: a ponte entre a Relatividade Geral e a física das partículas ainda não está construída.
Mas o astrônomo exclamará:
- Que importa. Esta hipótese segundo a qual os fótons seguem certas geodésicas desta hipersuperfície funciona. A prova: posso fazer observações.
Se eu suponho que os planetas, assimilados a massas pontuais, seguem igualmente geodésicas desta hipersuperfície, posso construir suas trajetórias. Há também os efeitos de lente gravitacional....
Ele tem razão.
...Estes efeitos de lente gravitacional, digamos algumas palavras sobre eles. É claro, esta imagem do cone embotado não é mais que uma imagem didática.
Um planeta que orbita circularmente em torno de uma estrela segue também uma geodésica do espaço-tempo. Ora, um círculo traçado sobre um cone embotado não é uma geodésica:
Isto mostra simplesmente os limites das imagens didáticas, mesmo que sejam geométricas.
...Os fótons seguem efetivamente geodésicas da hipersuperfície espaço-tempo. Poder-se-á servir-se desta imagem do cone embotado para ilustrá-lo. Os raios luminosos podem passar de um e outro lado de um objeto massivo, e depois convergir para o observador. Se projetarmos estas geodésicas, obteremos um efeito de miragem: o observador terá a impressão de que há duas fontes em vez de uma:
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