f108

Invariância por
mudança de coordenadas.

...Eis
um conceito-chave da Relatividade Geral, que não é
fácil de apresentar. Dissemos que procurar uma "solução
cosmológica", estacionária ou não estacionária, equivale a construir
uma hipersuperfície de quatro dimensões que seja "solução da equação
de campo".

...Tomemos
por exemplo um objeto de chapa que tenha a topologia da esfera.
É "uma esfera de chapa". Aí também se imagina bem
que se possa deformar essa superfície aquecendo e resfriando
em certos pontos. Por exemplo, aquecendo num ponto e resfriando a
região antípoda, transformaríamos essa esfera em ovo. Um
ovo é um objeto que tem a topologia da esfera, mas que é uma
superfície de curvatura variável.

...Aquecendo
num lugar e resfriando em outro, vamos
criar tensões no metal. É claro que, como
esse material é condutor, se parássemos de aquecer e resfriar,
a temperatura se homogeneizaria e o objeto retomaria
sua forma esférica. O que importa é que se consiga criar
uma situação estacionária com um campo de temperatura não uniforme.
Esse campo engendra tensões e poderíamos concretizar essas
tensões sob a forma de um objeto matemático T
chamado tensor.

Algo descreve
a geometria do objeto. Isso se chama uma métrica. É a partir desse segundo objeto matemático que se pode
:

• Calcular o tensor
  geométrico S

• Calcular as geodésicas
  da superfície.

A geometria
dessa superfície poderia ser calculada a partir de uma equação
análoga à equação de Einstein, do tipo:

S = a T

onde a é uma
constante. Conhecendo a priori o campo de temperatura na
chapa, portanto o tensor das tensões, poderíamos deduzir
sua geometria. A melhor maneira de "ler" essa geometria
seria então analisar o sistema das geodésicas.
Conhecemos as da esfera (seus "grandes círculos"). As
geodésicas de um ovo são diferentes.

...Para
descrever essas geodésicas, precisaremos definir
um sistema de coordenadas sobre a superfície. Para a esfera,
poderemos tomar o clássico sistema azimute-zênite.

...Nesse
sistema de coordenadas particulares, as geodésicas
da esfera corresponderiam a certas equações.

Sobre essa esfera
as curvas q
= Cte representam a família de geodésicas que passam
por dois pontos. Já as curvas j
= Cte (paralelos)
não são geodésicas da superfície.

...Poder-se-ia
também definir um sistema de coordenadas análogo
e escrever as equações das geodésicas da
superfície "ovo". Mas logo se nota uma coisa essencial: as
geodésicas da superfície são independentes das coordenadas
que se escolhe para descrevê-las , assim como os pontos
de uma esfera, ou de um ovo, existem, independentemente do sistema
de coordenadas utilizado para localizá-los.

...Do
mesmo modo, sobre um plano, pode-se representar pontos em coordenadas
cartesianas ou em coordenadas polares. As retas do plano
são geodésicas.

Uma reta pode ser
descrita em dois sistemas de coordenadas:

...Trata-se da mesma geodésica, com duas descrições
totalmente diferentes. As retas do plano existem independentemente
da maneira como as descrevemos, da escolha das coordenadas
utilizadas. E pode-se imaginar... uma infinidade.

...Então,
o que é intrínseco? Resposta: o comprimento s medido
sobre uma reta (ou ao longo de um contorno curvilíneo qualquer). Entre dois
pontos M1 e M2 de uma superfície o trajeto de comprimento
mínimo é uma geodésica.

...Do
mesmo modo a distância que separa dois pontos, sobre uma geodésica
dos objetos "esfera" ou "ovo" é igualmente uma grandeza que
é independente do sistema de coordenadas escolhido.
Se tomarmos dois pontos M1 e M2 sobre uma superfície e
traçarmos o arco geodésico que os une, o comprimento s medido
ao longo desse arco será o mesmo, qualquer que seja o sistema de
coordenadas utilizado para localizar os pontos.

...O
mesmo vale para a hipersuperfície de quatro dimensões que
chamamos "universo". Ela possui seu sistema de geodésicas,
igualmente invariantes por mudança de coordenadas. Não habitamos
num espaço (x , y , z , t) com coordenadas de posição
e uma coordenada de tempo, mas numa hipersuperfície quadridimensional
que pode ser inteiramente descrita por sua rede
de geodésicas. Sobre essas geodésicas existe
um comprimento s que é igualmente invariante por mudança de coordenadas.
Os pontos dessa hipersuperfície não são mais pontos do espaço, mas
pontos de uma hipersuperfície espaço-tempo. Chamam-nos eventos
. Dois eventos distintos são portanto separados
por algo que se chama s. Mas o que é isso então?

É o tempo
próprio .

...Uma
trajetória geodésica nessa hipersuperfície espaço-tempo
separa dois eventos M1 e M2. Tudo o que posso
dizer é que se eu tivesse utilizado um veículo para efetuar
esse trajeto no espaço-tempo, teria decorrido um lapso de
tempo s, no meu relógio de bordo.

Uma
escolha de coordenadas consiste em localizar os pontos do
espaço-tempo por coordenadas de espaço (x , y , z) e uma coordenada
de tempo t . Mas como essa escolha é arbitrária esse espaço e esse tempo não têm
existência intrínseca. São apenas maneiras de "ler"
a superfície, de percorrê-la. Única restrição: em função da hipótese
feita, só se pode deslocar segundo geodésicas
e, sobre estas, a única coisa confiável à qual se pode
agarrar é o "tempo próprio decorrido" s, e não esse tempo
t , simples sistema de marcação cronológica (chronological
marker).

Para cada escolha do
sistema de coordenadas, um sistema diferente de
leitura dos eventos, dos fenômenos.

...Os
físicos procuraram portanto um formalismo que fosse independente
da escolha das coordenadas. É a essência do formalismo tensorial. Não se pode dizer mais sobre esse assunto, sob pena de entrar em
detalhes técnicos relativamente complexos.

O problema das singularidades.

Sobre uma esfera,
a escolha de coordenadas angulares clássica introduz duas singularidades
polares.

Impossível cartografar
uma esfera sem introduzir esse tipo de singularidades polares.

...Observar
que se pode cartografar uma esfera com uma singularidade
única. Cria-se sobre a esfera uma primeira família de
curvas (círculos) cortando-a por planos, como indicado a seguir
:

Depois uma segunda família
:

Fora dessa única
singularidade, nenhum problema. Se olhássemos essa esfera
do outro lado, veríamos isto:

...Fora
da única singularidade S, localizam-se os pontos sem
dificuldades. Mas os valores dos parâmetros a
e b que definem essa singularidade
de malha S são .... quaisquer...

...No
entanto uma esfera não é geometricamente, intrinsecamente
singular. Gire uma bola de bilhar em todos os sentidos, ou um ovo, você
não descobrirá nenhum ponto singular.

Essas
singularidades foram portanto criadas pela
escolha das coordenadas.

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