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Existirão, por outro lado,
verdadeiras singularidades geométricas:
Etc....
..A propósito, a dobra é uma região particular da superfície que
contém curvatura linear, à esquerda negativa,
à direita, positiva. De propósito, fabricaram-se estas duas superfícies
com calotas esféricas. O objeto final tem a topologia da esfera.
Possui, portanto, uma curvatura total igual a 4p
. Suponhamos que o objeto da esquerda tenha sido fabricado com
duas vezes três quartos de esfera (partindo de esferas do mesmo
raio). Estes componentes correspondem, portanto, cada um a uma curvatura de
3p. Total 6p . Sabe-se, portanto, imediatamente
quanta curvatura (negativa) a dobra contém: - 2p
. Esta é uniformemente distribuída ao longo da dobra circular.
Sabe-se, portanto, calcular a soma dos ângulos do triângulo ABC. Medindo a sua
superfície, conhece-se primeiro a quantidade de curvatura (angular)
que ele contém. É:
É preciso subtrair a
quantidade de curvatura contida no arco mn. É:
A lente também tem a
topologia da esfera. Portanto, a dobra contém uma curvatura linear
positiva igual a 2p.
...Pode-se
igualmente calcular a soma dos ângulos do bizarro triângulo ABC,
que é constituído por três linhas geodésicas. As geodésicas
atravessam alegremente as dobras. Basta fazer a experiência
com a sua fita adesiva.
O arco mn contém a
curvatura linear: Suponhamos
que a espécie de lente indicada acima tivesse sido
fabricada com dois quartos de esferas, idênticos. Cada um contém
uma curvatura igual a p . Portanto, na
superfície (sem a dobra) contém a curvatura 2p
.
...Contabilizando a
curvatura angular contida no triângulo ABC e no
arco-dobra, pode-se conhecer o desvio, positivo, em relação à soma
euclidiana p .
Vê-se que se pode facilmente fazer malabarismos com estes problemas de curvatura, para as superfícies.
...Uma
superfície pode comportar pontos singulares ou dobras. Neste caso trata-se
de singularidades realmente geométricas, intrínsecas,
e não resultantes de uma escolha de coordenadas.
...A propósito, notemos que esta curvatura linear poderia ser repartida
sobre uma porção de superfície. Por exemplo, para a figura da esquerda, obter-se-ia:
...É
o procedimento análogo ao que tinha sido apresentado
acima, em que a curvatura concentrada no vértice de um cone
tinha sido distribuída sobre uma calota esférica
(cone embotado). Se
as duas calotas esféricas que compõem a superfície acima representassem
por exemplo cada uma dois terços de esfera, ou seja, uma curvatura
A superfície acinzentada
conterá uma curvatura negativa C, uniformemente distribuída,
tal que:
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